Problema 568

Se desea estimar la proporción de bares y restaurantes que en el camino de Santiago ofertan el menú del peregrino con un precio máximo de 12€. Para ello se eligen aleatoriamente 120 establecimientos que ofrecen este menú, de los que 80 tienen un precio máximo de 12€.

a) Con un nivel de confianza del 92%, obtenga el intervalo de confianza para la proporción de establecimientos que tienen un precio máximo de 12€.
b) Si aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué efecto se produce en el error de estimación?
c) ¿Cuántos establecimientos, como mínimo, deberíamos seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación no sea superior a 0.04?

Solución:

a) El intervalo de confianza para la proporción es:

$(p-E,p+E)$

donde E es el error cuyo valor es $E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}$ .

Con un nivel de confianza del 92% tenemos $z_{\alpha/2}=1.75$ (ver la tabla de probabilidades).
La probabilidad es $p=\dfrac{80}{120}=\dfrac23$
n=120.

Entonces:

$E=1.75\cdot\sqrt{\dfrac{\frac23(1-\frac23)}{120}}=0.0753$

y el intervalo de confianza es:

$(\frac23-0.0753,\frac23+0.0753)=(0.591,0.742)$

b) Según la expresión

$E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}$

al aumentar el nivel de confianza, aumenta el valor de $z_{\alpha/2}$ y también el valor del error E.
En concreto, para un nivel de confianza del 99%, tenemos el valor $z_{\alpha/}=2.575$ y el error sería de: