Problema 568

Se desea estimar la proporción de bares y restaurantes que en el camino de Santiago ofertan el menú del peregrino con un precio máximo de 12€. Para ello se eligen aleatoriamente 120 establecimientos que ofrecen este menú, de los que 80 tienen un precio máximo de 12€.

a) Con un nivel de confianza del 92%, obtenga el intervalo de confianza para la proporción de establecimientos que tienen un precio máximo de 12€.
b) Si aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué efecto se produce en el error de estimación?
c) ¿Cuántos establecimientos, como mínimo, deberíamos seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación no sea superior a 0.04?


Solución:

a) El intervalo de confianza para la proporción es:

(p-E,p+E)

donde E es el error cuyo valor es E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}.

Entonces:

E=1.75\cdot\sqrt{\dfrac{\frac23(1-\frac23)}{120}}=0.0753

y el intervalo de confianza es:

(\frac23-0.0753,\frac23+0.0753)=(0.591,0.742)


b) Según la expresión

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}

al aumentar el nivel de confianza, aumenta el valor de z_{\alpha/2} y también el valor del error E.
En concreto, para un nivel de confianza del 99%, tenemos el valor z_{\alpha/}=2.575 y el error sería de:

E=2.575\cdot\sqrt{\dfrac{\frac23(1-\frac23)}{120}}=0.111

que es mayor que los 0.0753 obtenido para un nivel de confianza del 92%.


c) Queremos el tamaño muestral n que obtenemos a partir de la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}~;\\\\E^2=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}n~;\\\\n=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}E^2

con z_{\alpha/2}=2.575, p=\dfrac23 y E=0.04:

n=2.575^2\cdot\dfrac{\frac23(1-\frac23)}{0.04^2}=920.9

luego, debemos seleccionar al menos 921 bares y restaurantes.

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