Problema 569

Sea el siguiente sistema de inecuaciones:

x+2y\leq11\qquad x\geq2y-5\qquad3x+y\leq18\qquad x\geq0\qquad y\geq0

a) Dibuje la región que definen y calcule sus vértices.
b) ¿Pertenece el punto (5.5,2) a la región anterior?
c) Calcule los puntos de esa región en los que la función F(x,y)=2x+3y alcanza los valores máximo y mínimo y determine dichos valores.


Solución:

a) Para representar las rectas comenzamos por expresar las inecuaciones como ecuaciones en forma explícita:

p569

\left\{\begin{array}{l}x+2y=11\rightarrow x=11-2y\\x=2y-5\\3x+y=18\rightarrow y=18-3x\\x=0\\y=0\end{array}\right.

La región factible es la sombreada. Para calcular los vértices resolvemos los siguientes sistemas de ecuaciones:

A=\left\{\begin{array}{l}x=0\\x=2y-5\end{array}\right.\rightarrow A=(0,\frac52)\\\\B=\left\{\begin{array}{l}x+2y=11\\x=2y-5\end{array}\right.\rightarrow B=(3,4)\\\\C=\left\{\begin{array}{l}x+2y=11\\3x+y=18\end{array}\right.\rightarrow C=(5,3)\\\\D=\left\{\begin{array}{l}y=0\\3x+y=18\end{array}\right.\rightarrow D=(6,0)\\\\E=\left\{\begin{array}{l}y=0\\x=0\end{array}\right.\rightarrow E=(0,0)


b) Un punto como (5.5,2) se dice que está en la región factible si verifica todas las inecuaciones:

  • x+2y\leq11\rightarrow5.5+2\cdot2=9.5\leq11
  • x\geq2y-5\rightarrow5.5\geq2\cdot2-5
  • 3x+y\leq18\rightarrow3\cdot5.5+2=18.5\leq18 ✖️

Por lo que el punto (5.5,2) no pertenece a la región factible.


c) Evaluamos cada uno de los vértices en la función F(x,y)=2x+3y:

  • A\rightarrow F(0,\frac52)=2\cdot0+3\cdot\dfrac52=\dfrac{15}2
  • B\rightarrow F(3,4)=18
  • C\rightarrow F(5,3)=19
  • D\rightarrow F(6,0)=12
  • E\rightarrow F(0,0)=0

Luego, el valor mínimo de F se alcanza para (x,y)=(0,0) y su valor es 0. El valor máximo de F se alcanza para (x,y)=(5,3) y su valor es 19.

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