Problema 570

a) Calcule los valores de los parámetros a y b para que la gráfica de la función f(x)=x^3+ax^2+b presente un extremo relativo en el punto (2,6).

b) Para a=1 y b=1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa x=1.


Solución:

a) Nos dicen que f presenta un extremo relativo en el punto (2,6). Eso significa:

\left\{\begin{array}{l}f(2)=6\\f'(2)=0\end{array}\right.

luego

f(2)=2^3+a\cdot2^2+b=4a+b+8=6\rightarrow4a+b=-2\\\\f'(x)=3x^2+2ax\\f'(2)=3\cdot2^2+2a\cdot2=12+4a=0\rightarrow4a=-12

Con estos dos resultados, planteamos el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{l}4a+b=-2\\4a=-12\end{array}\right.

sistema cuya solución es a=-3, b=10.


b) Para a=1 y b=1, tenemos f(x)=x^3+x^2+1.
La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso, x_0=1, luego

f(1)=1^3+1^2+1=3\\\\f'(x)=3x^2+2x\rightarrow f'(1)=3+2=5

La recta tangente es:

y-3=5\cdot(x-1)~;\\\\y=5x-5+3~;\\\\y=5x-2

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s