Problema 572

El precio de un determinado producto se distribuye según una ley Normal de desviación típica 5€ y media desconocida. Se toman 10 comercios al azar y se observa en ellos el precio de este producto, resultando los siguientes valores en euros:

96, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 98, 99

a) ¿Cuál es la distribución del precio medio del producto en las muestras de tamaño 10?
b) Determine un intervalo de confianza, al 97%, para la media poblacional.
c) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra de esa población para que el error cometido sea menor que 2?


Solución:

a) Para esta muestra de 10 comercios el valor medio es:

\overline x=\dfrac{\sum x_i}N=\dfrac{96+108+97+112+99+106+105+100+98+99}{10}=102

La distribución que sigue la media muestral de tamaño 10 es:

N\left(\overline x,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)=N\left(102,\dfrac5{\sqrt{10}}\right)=N(102,1.58)


b) El intervalo de confianza tiene la forma

(\overline x-E,\overline x+E)

donde el error E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, para un nivel de confianza del 97% se tiene el valor z_{\alpha/2}=2.17, luego

E=2.17\cdot\dfrac5{\sqrt{10}}=3.43

y el intervalo de confianza es

(102-3.43,102+3.43)=(98.6,105.4)


c) Para calcular el tamaño muestral utilizamos la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}~;\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=\left(2.17\cdot\dfrac52\right)^2=29.4

Luego, hay que utilizar una muestra de 30 comercios.

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