Problema 573

Sean las matrices

A=\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}

a) Calcule A^2+B^3
b) Calcule X en la ecuación matricial (A+B)X=A-B.


Solución:

a) Calcule A^2+B^3

A^2=\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&4\\1&5\end{pmatrix}

B^2=\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&0\\0&1\end{pmatrix}\\B^3=B^2B=\begin{pmatrix}9&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-27&0\\0&1\end{pmatrix}

luego

A^2+B^3=\begin{pmatrix}8&4\\1&5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-27&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-19&4\\1&6\end{pmatrix}


b) Sea la ecuación matricial (A+B)X=A-B.
Como A+B es una matriz 2×2, y AB también resulta una matriz 2×2, entonces la matriz X también es 2×2:

X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

Sabemos que

A+B=\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&4\\1&0\end{pmatrix}\\\\A-B=\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&4\\1&-2\end{pmatrix}

luego

(A+B)X=A-B~;\\\\\begin{pmatrix}-1&4\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&4\\1&-2\end{pmatrix}~;\\\\\begin{pmatrix}-a+4c&-b+4d\\a&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&4\\1&-2\end{pmatrix}

de donde obtenemos el sistema

\left\{\begin{array}{l}-a+4c=5\\-b+4d=4\\a=1\\b=-2\end{array}\right.

sistema cuya solución es: a=1, b=-2, c=\frac32,~d=\frac12. Luego la matriz X es:

X=\begin{pmatrix}1&-2\\\frac32&\frac12\end{pmatrix}

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