Problema 573

Sean las matrices

$A=\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}$

a) Calcule $A^2+B^3$
b) Calcule X en la ecuación matricial $(A+B)X=A-B$ .

Solución:

a) Calcule $A^2+B^3$

$A^2=\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&4\\1&5\end{pmatrix}$

$B^2=\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&0\\0&1\end{pmatrix}\\B^3=B^2B=\begin{pmatrix}9&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-27&0\\0&1\end{pmatrix}$

luego

$A^2+B^3=\begin{pmatrix}8&4\\1&5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-27&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-19&4\\1&6\end{pmatrix}$

b) Sea la ecuación matricial $(A+B)X=A-B$ .
Como A+B es una matriz 2×2, y A–B también resulta una matriz 2×2, entonces la matriz X también es 2×2:

$X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

Sabemos que

$A+B=\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&4\\1&0\end{pmatrix}\\\\A-B=\begin{pmatrix}2&4\\1&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&4\\1&-2\end{pmatrix}$

luego

$(A+B)X=A-B~;\\\\\begin{pmatrix}-1&4\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&4\\1&-2\end{pmatrix}~;\\\\\begin{pmatrix}-a+4c&-b+4d\\a&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&4\\1&-2\end{pmatrix}$