Problema 574

El beneficio en euros que obtiene una empresa al vender x unidades de un artículo viene dado por la función B(x)=-x^2+360x-18000,\quad50\leq x\leq350.

a) ¿Cuál es el beneficio obtenido si vende 100 unidades? ¿Cuántas unidades debe vender para obtener un beneficio de 13500€?
b) ¿Cuál es el número de unidades que debe vender para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende ese beneficio?
c) Represente gráficamente la función y determine cuántas unidades hay que vender para no obtener pérdidas.


Solución:

a) El beneficio obtenido si vende 100 unidades es:

B(100)=-100^2+360\cdot100-18000=8000

Para obtener un beneficio 13500 €, ha de ser

13500=-x^2+360x-18000~;\\\\x^2-360x+31500=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=150 y x=210. Ambas soluciones son válidas ya que 50\leq x\leq350.


b) Para obtener el beneficio máximo obtenemos los puntos críticos de la función beneficios:

B'(x)=-2x+360=0~;\\\\x=180

Para caracterizar este punto crítico utilizamos el test de la derivada segunda:

B''(x)=-2\\\\B''(180)=-2

luego, en x=180, la función beneficios alcanza un máximo.
El valor de dicho beneficio máximo es:

B(180)=-180^2+360\cdot180-18000=14400 €.


c) La función beneficios B(x)=-x^2+360x-18000 es una función elemental cuadrática, cuya gráfica es una parábola cóncava cuyo máximo es el punto (180,14400), como calculamos antes.
Calculamos los puntos de corte con el eje x (y=0):

0=-x^2+360x-18000

cuyas soluciones son x=60, x=300. Faltaría calcular los valores de la función en los extremos de su dominio:

B(50)=-2500\\B(350)=-14500

Con todos estos datos, el esbozo de la gráfica sería semejante a la siguiente gráfica:

p574

Para no obtener pérdidas, los beneficios han de ser siempre positivos cosa que ocurre en el intervalo x∈[60,300].

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