El beneficio en euros que obtiene una empresa al vender x unidades de un artículo viene dado por la función .

a) ¿Cuál es el beneficio obtenido si vende 100 unidades? ¿Cuántas unidades debe vender para obtener un beneficio de 13500€?
b) ¿Cuál es el número de unidades que debe vender para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende ese beneficio?
c) Represente gráficamente la función y determine cuántas unidades hay que vender para no obtener pérdidas.

Solución:

a) El beneficio obtenido si vende 100 unidades es:

€

Para obtener un beneficio 13500 €, ha de ser

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=150 y x=210. Ambas soluciones son válidas ya que .

b) Para obtener el beneficio máximo obtenemos los puntos críticos de la función beneficios:

Para caracterizar este punto crítico utilizamos el test de la derivada segunda:

luego, en x=180, la función beneficios alcanza un máximo.
El valor de dicho beneficio máximo es:

€.

c) La función beneficios es una función elemental cuadrática, cuya gráfica es una parábola cóncava cuyo máximo es el punto (180,14400), como calculamos antes.
Calculamos los puntos de corte con el eje x (y=0):

cuyas soluciones son x=60, x=300. Faltaría calcular los valores de la función en los extremos de su dominio:

Con todos estos datos, el esbozo de la gráfica sería semejante a la siguiente gráfica:

Para no obtener pérdidas, los beneficios han de ser siempre positivos cosa que ocurre en el intervalo x∈[60,300].

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