Problema 575

📖Probabilidad CCSS, Selectividad Mat CCSSLeyes de Morgan, Probabilidaddurán

Sean A, B y C tres sucesos de los que se sabe que A y B son independientes, A y C son incompatibles, $P[A]=0.4,~P[A\cap B]=0.1,~P[C]=0.2$ .
Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) Que suceda A si no sucede B.
b) Que no suceda ni A ni C.
c) Que si no sucede B tampoco suceda A.

Solución:

Si A y B son sucesos independientes, entonces,

$P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B]$

Si A y C son sucesos incompatibles, entonces,

$P[A\cap C]=0$

a) La probabilidad de que suceda A sabiendo que no sucede B es $P[A/\overline B]$ :

$P[A/\overline B]=\dfrac{P[A\cap\overline B]}{P[\overline B]}$

Dado que $P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B]$ , entonces

$P[B]=\dfrac{P[A\cap B]}{P[A]}=\dfrac{0.1}{0.4}=0.25\\\\P[\overline B]=1-P[B]=1-0.25=0.75$

Por otro lado,

$P[A\cap\overline B]=P[A]-P[A\cap B])=0.4-0.1=0.3$

Luego

$P[A/\overline B]=\dfrac{P[A\cap\overline B]}{P[\overline B]}=\dfrac{0.3}{0.75}=0.4$

b) La probabilidad de que no suceda ni A ni C es $P[\overline{A\cup C}]$ .
Sabemos que

$P[A\cup C]=P[A]+P[C]-P[A\cap C]=0.4+0.2-0=0.6$

Luego

$P[\overline{A\cup C}]=1-P[A\cup C]=1-0.6=0.4$

c) La probabilidad de que no suceda A sabiendo que no sucede B es $P[\overline A/\overline B]$ .

$P[\overline A/\overline B]=\dfrac{P[\overline A\cap\overline B]}{P[\overline B]}$

Utilizando una de las leyes de Morgan:

$P[\overline A\cap\overline B]=P[\overline{A\cup B}]$

y de aquí

$P[\overline{A\cup B}]=1-P[A\cup B]=1-(P[A]+P[B]-P[A\cap B])=\\\\=1-(0.4+0.25-0.1)=1-0.55=0.45=P[\overline A\cap\overline B]$

Luego

$P[\overline A/\overline B]=\dfrac{P[\overline A\cap\overline B]}{P[\overline B]}=\dfrac{0.45}{0.75}=0.6$

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