Problema 575

Sean A, B y C tres sucesos de los que se sabe que A y B son independientes, A y C son incompatibles, P[A]=0.4,~P[A\cap B]=0.1,~P[C]=0.2.
Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) Que suceda A si no sucede B.
b) Que no suceda ni A ni C.
c) Que si no sucede B tampoco suceda A.


Solución:

Si A y B son sucesos independientes, entonces,

P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B]

Si A y C son sucesos incompatibles, entonces,

P[A\cap C]=0


a) La probabilidad de que suceda A sabiendo que no sucede B es P[A/\overline B]:

P[A/\overline B]=\dfrac{P[A\cap\overline B]}{P[\overline B]}

Dado que P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B], entonces

P[B]=\dfrac{P[A\cap B]}{P[A]}=\dfrac{0.1}{0.4}=0.25\\\\P[\overline B]=1-P[B]=1-0.25=0.75

Por otro lado,

P[A\cap\overline B]=P[A]-P[A\cap B])=0.4-0.1=0.3

Luego

P[A/\overline B]=\dfrac{P[A\cap\overline B]}{P[\overline B]}=\dfrac{0.3}{0.75}=0.4


b) La probabilidad de que no suceda ni A ni C es P[\overline{A\cup C}].
Sabemos que

P[A\cup C]=P[A]+P[C]-P[A\cap C]=0.4+0.2-0=0.6

Luego

P[\overline{A\cup C}]=1-P[A\cup C]=1-0.6=0.4


c) La probabilidad de que no suceda A sabiendo que no sucede B es P[\overline A/\overline B].

P[\overline A/\overline B]=\dfrac{P[\overline A\cap\overline B]}{P[\overline B]}

Utilizando una de las leyes de Morgan:

P[\overline A\cap\overline B]=P[\overline{A\cup B}]

y de aquí

P[\overline{A\cup B}]=1-P[A\cup B]=1-(P[A]+P[B]-P[A\cap B])=\\\\=1-(0.4+0.25-0.1)=1-0.55=0.45=P[\overline A\cap\overline B]

Luego

P[\overline A/\overline B]=\dfrac{P[\overline A\cap\overline B]}{P[\overline B]}=\dfrac{0.45}{0.75}=0.6

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