Problema 576

Se desea estimar el porcentaje de alumnos de un determinado instituto que lleva gafas. Para ello se eligen 300 alumnos, de los que 210 llevan gafas.

a) Calcule el intervalo de confianza para la proporción de alumnos que lleva gafas, con un nivel de confianza del 97%.
b) Si por estudios en otros institutos se sabe que la proporción de alumnos que llevan gafas es del 70%, determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que, con una confianza del 97%, el error máximo que se cometa sea inferior a 0.06.


Solución:

a) El intervalo de confianza es:

(p-E,p+E)

siendo p la proporción de alumnos que llevan gafas p=\dfrac{210}{300}=0.7, y el error E

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}

con n=300 y z_{\alpha/2}=2.17 para un nivel de confianza del 97%. Luego

E=2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.7\cdot(1-0.7)}{300}}=0.057

y el intervalo de confianza resulta ser:

(0.7-0.057,0.7+0.057)=(0.643,0.757)


b) Una proporción de alumnos que llevan gafas del 70% significa que p=0.7.
Para calcular el tamaño de la muestra utilizamos la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}~;\\\\E^2=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}n~;\\\\n=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}{E^2}

donde z_{\alpha/2}=2.17 ya que el nivel de confianza sigue siendo del 97%, y el error es 0.06:

n=2.17^2\cdot\dfrac{0.7\cdot(1-0.7)}{0.06^2}=274.7

Luego, el tamaño de la muestra ha de ser de al menos 275 alumnos.

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