Problema 577

a) Represente el recinto dado por las siguientes inecuaciones:

y\leq x+3\qquad x+5y\geq3\qquad2x+7y\leq30\qquad y\geq0

b) Razone si el punto (5,3) pertenece al recinto anterior.

c) Obtenga los valores mínimo y máximo de la función F(x,y)=x-y en ese recinto, indicando en qué puntos se alcanzan.


Solución:

a) En primer lugar escribimos las ecuaciones en forma explícita preferiblemente:

y=x+3\\x+5y=3\rightarrow x=3-5y\\2x+7y=30\rightarrow y=\dfrac{30-2x}7\\y=0

Representamos las rectas y la región factible:

p577


b) El punto (5,3) pertenece a la región factible si verifica todas las inecuaciones:

  • y\leq x+3\rightarrow3\leq5+3 ✔️
  • x+5y\geq3\rightarrow5+5\cdot3\geq3 ✔️
  • 2x+7y\leq30\rightarrow2\cdot5+7\cdot3=31\leq30 ✖️

Luego el punto (5,3) no pertenece a la región factible.


c) Primero calculamos los vértices de la región factible resolviendo los siguientes sistemas:

A=\left\{\begin{array}{l}x+5y=3\\y=x+3\end{array}\right.\rightarrow A=(-2,1)\\B=\left\{\begin{array}{l}2x+7y=30\\y=x+3\end{array}\right.\rightarrow B=(1,4)\\C=\left\{\begin{array}{l}2x+7y=30\\y=0\end{array}\right.\rightarrow C=(15,0)\\D=\left\{\begin{array}{l}x+5y=3\\y=0\end{array}\right.\rightarrow D=(3,0)

Ahora evaluamos la función objetivo F(x,y)=x-y en cada uno de los vértices:

A\rightarrow F(-2,1)=-2-1=-3\\B\rightarrow F(1,4)=1-4=-3\\C\rightarrow F(15,0)=15-0=15\\D\rightarrow F(3,0)=3-0=3

La función F obtiene su máximo en x=15, y=0 y su valor es 15. La función F obtiene su valor mínimo -3 en los puntos del segmento comprendido entre los vértices A y B.

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