Problema 578

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{a}{x-1}&\text{si}&x<0\\\\x^2-bx-1&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Calcule el valor de a y b, para que la función sea derivable en x=0.
b) Para a=1 y b=2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2.


Solución:

a) Para que f sea derivable en x=0, primero ha de ser continua en x=0.
Estudiamos la continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x^2-bx-1=-1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{a}{x-1}=-a\\\bullet~f(0)=0^2-b\cdot0-1=-1

Luego, para que f sea continua en x=0, ha de ser –a=-1, de donde a=1.
Calculamos la función derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{-a}{(x-1)^2}&\text{si}&x<0\\\\2x-b&\text{si}&x>0\end{array}\right.

Estudiamos la derivabilidad en x=0 sabiendo que ha de ser a=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}2x-b=-b\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{-1}{(x-1)^2}=-1

Para que f sea derivable ha de ser –b=-1, de donde b=1.

Resumiendo, para que f sea derivable en x=0 ha de ser a=1, b=1.


b) Con a=1, b=2 tenemos

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{1}{x-1}&\text{si}&x<0\\\\x^2-2x-1&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{-1}{(x-1)^2}&\text{si}&x<0\\\\2x-2&\text{si}&x>0\end{array}\right.

La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=2:

f(2)=2^2-2\cdot2-1=-1\\f'(2)=2\cdot2-2=2

Luego la ecuación de la recta tangente es:

y-(-1)=2\cdot(x-2)~;\\\\y=2x-4-1~;\\\\y=2x-5

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