Problema 580

Se sabe que el peso de los tarros de mermelada que fabrica una empresa sigue una distribución Normal con desviación típica 25 g. Con objeto de estimar el peso medio de los tarros fabricados por esa empresa se selecciona una muestra aleatoria de 100 tarros de esa fábrica obteniéndose un peso medio de 230 g.

a) Calcule un intervalo de confianza, al 96%, para la media de la población.
b) ¿Qué error máximo se ha cometido en el intervalo anterior?
c) Determine el tamaño muestral mínimo para que el error máximo cometido al construir un intervalo de confianza, con el mismo nivel de confianza, sea 2 g.


Solución:

a) El intervalo de confianza tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

Para un nivel de confianza del 96%, tenemos el valor z_{\alpha/2}=2.054.
Siendo \overline x=230, n=100 y σ=25, podemos calcular el valor del error:

\boxed{E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}}=2.054\cdot\dfrac{25}{\sqrt{100}}=5.135

El intervalo de confianza para la media de la población es:

(230-5.135,230+5.135)=(224.9,235.1)


b) El error máximo cometido en el intervalo anterior es E=5.135.


c) Siendo el error E=2, con el mismo nivel de confianza, el tamaño muestral lo obtenemos a partir de la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}~;\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=\left(2.054\cdot\dfrac{25}{2}\right)^2=26.67^2=659.2

Luego, el tamaño muestral mínimo es de 660 tarros.

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