Problema 581

Un fabricante de complementos alimenticios elabora dos tipos de bebidas energéticas a partir de tres componentes: taurina, cafeína y L-carnitina. Un envase del primer tipo de bebida precisa de 30 g de taurina, 40 g de cafeína y 20 g de L-carnitina, mientras que uno del segundo necesita 40 g de taurina, 30 g de cafeína y 10 g de L-carnitina. Sabiendo que dispone de 52 kg de taurina, 46 kg de cafeína y 20 kg de L-carnitina, que cada envase del primer tipo se vende por 1.5€ y cada envase del segundo tipo por 1€, ¿cuántos envases de cada tipo de bebida tendría que elaborar para obtener ganancia máxima? ¿A cuánto ascendería esta ganancia?


Solución:

Ponemos la composición de cada tipo de bebida en la siguiente tabla en gramos:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &\text{Taurina}&\text{Cafeina}&\text{L-carnitina}\\\hline\text{Tipo 1}&30&40&20\\\hline \text{Tipo 2}&40&30&10\\\hline\end{array}

Sea x el número de envases de bebida tipo 1, e y el número de envases de bebida tipo 2.
Se dispone de 52 kg de taurina, 46 kg de cafeína y 20 kg de L-carnitina, luego

30x+40y\leq52000\\40x+30y\leq46000\\20x+10y\leq20000

Inecuaciones que podemos simplificar:

3x+4y\leq5200\\4x+3y\leq4600\\2x+y\leq2000

Tenemos en cuenta las restricciones naturales x\geq0,~y\geq0.
A partir de todas estas restricciones escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

p581\left\{\begin{array}{l}3x+4y=5200\\4x+3y=4600\\2x+y=2000\\x=0\\y=0\end{array}\right.

Representamos la región factible y calculamos los vértices de dicha región resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

A=\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.\rightarrow A=(0,0)\\B=\left\{\begin{array}{l}x=0\\3x+4y=5200\end{array}\right.\rightarrow B=(0,1300)\\C=\left\{\begin{array}{l}4x+3y=4600\\3x+4y=5200\end{array}\right.\rightarrow C=(400,1000)\\D=\left\{\begin{array}{l}4x+3y=4600\\2x+y=2000\end{array}\right.\rightarrow D=(700,600)\\E=\left\{\begin{array}{l}y=0\\2x+y=2000\end{array}\right.\rightarrow E=(1000,0)

A continuación definimos la función ganancias sabiendo que se ganan 1.5€ por cada bebida de tipo 1 y 1€ por cada bebida de tipo 2:

G(x,y)=1.5x+y

Evaluamos esta función ganancias en cada uno de los vértices de la región factible:

A\rightarrow G(0,0)=0\\B\rightarrow G(0,1300)=1300\\C\rightarrow G(400,1000)=1600\\D\rightarrow G(700,600)=1650\\E\rightarrow G(1000,0)=1500

La función ganancia se hace máxima en el vértice D, luego, para obtener la máxima ganancia, el fabricante debe producir 700 bebidas del tipo 1 y 600 bebidas del tipo 2. En este caso las ganancias ascenderían a 1650€.

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