Problema 581

Un fabricante de complementos alimenticios elabora dos tipos de bebidas energéticas a partir de tres componentes: taurina, cafeína y L-carnitina. Un envase del primer tipo de bebida precisa de 30 g de taurina, 40 g de cafeína y 20 g de L-carnitina, mientras que uno del segundo necesita 40 g de taurina, 30 g de cafeína y 10 g de L-carnitina. Sabiendo que dispone de 52 kg de taurina, 46 kg de cafeína y 20 kg de L-carnitina, que cada envase del primer tipo se vende por 1.5€ y cada envase del segundo tipo por 1€, ¿cuántos envases de cada tipo de bebida tendría que elaborar para obtener ganancia máxima? ¿A cuánto ascendería esta ganancia?


Solución:

Ponemos la composición de cada tipo de bebida en la siguiente tabla en gramos:

Sea x el número de envases de bebida tipo 1, e y el número de envases de bebida tipo 2.
Se dispone de 52 kg de taurina, 46 kg de cafeína y 20 kg de L-carnitina, luego

Inecuaciones que podemos simplificar:

Tenemos en cuenta las restricciones naturales .
A partir de todas estas restricciones escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

Representamos la región factible y calculamos los vértices de dicha región resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

A continuación definimos la función ganancias sabiendo que se ganan 1.5€ por cada bebida de tipo 1 y 1€ por cada bebida de tipo 2:

Evaluamos esta función ganancias en cada uno de los vértices de la región factible:

La función ganancia se hace máxima en el vértice D, luego, para obtener la máxima ganancia, el fabricante debe producir 700 bebidas del tipo 1 y 600 bebidas del tipo 2. En este caso las ganancias ascenderían a 1650€.

Más problemas de programación lineal.

Deja un comentario