Problema 582

Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máximo de seis millones de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad invertida, x, por la siguiente expresión:

R(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x-2&\text{si}&1\leq x<2\\-x^2+10x-16&\text{si}&2\leq x\leq6\end{array}\right.

a) Estudie la continuidad de la función R.
b) Esboce la gráfica de la función.
c) ¿Qué cantidad debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y a cuánto asciende ésta? ¿Para qué valores de x la rentabilidad es positiva?


Solución:

a) Estudiamos la continuidad de R en x=2:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}-x^2+10x-16=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}x-2=0\\\bullet~R(2)=-2^2+10\cdot2-16=0

Luego, la función R es continua en x=2.


b) La función R es una función a trozos.
El primer trozo y=x-2 es una función lineal cuya gráfica es una recta que pasa por los puntos (1,-1) y (2,0), aunque este segundo punto sería un abierto.

El segundo trozo y=-x^2+10x-16 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que tiene su máximo en el vértice x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-10}{-2}=5. Ésta parábola pasa por los puntos (2,0), (5,9) y (6,8).

Con todos estos datos podemos construir un esbozo de la gráfica semejante a la siguiente figura:

p582


c) A la vista de la gráfica y como calculamos anteriormente, la función rentabilidad es máxima en el vértice de la parábola, en x=5, es decir, invirtiendo 5 millones de euros. Suponiendo que R también esté dada en millones de euros, se tendría una rentabilidad de 9 millones de euros.

A la vista de la gráfica, la rentabilidad es positiva en el intervalo x∈(2,6].

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