Problema 585

Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

y\leq2x+1\qquad y\leq13-4x\qquad x\geq4-y

a) Razone si el punto de coordenadas (1.1,2.8) pertenece al recinto.
b) ¿En qué puntos alcanza la función F(x,y)=-3x+1.5y sus valores extremos y cuáles son éstos?
c) Razone si existe algún punto del recinto en el que la función F se anule.


Solución:

Conviene representar el recinto definido por las inecuaciones representando en un mismo diagrama las tres rectas:

p585\left\{\begin{array}{l}y=2x+1\\y=13-4x\\x=4-y\end{array}\right.

a) Un punto pertenece al recinto definido por un conjunto de inecuaciones o restricciones si las coordenadas de dicho punto verifican todas las inecuaciones.
Veamos si el punto (1.1,2.8) verifican las inecuaciones:

  • y\leq2x+1\rightarrow2.8\leq2\cdot1.1+1=3.2 ✔️
  • y\leq13-4x\rightarrow2.8\leq13-4\cdot1.1=8.6 ✔️
  • x\geq4-y\rightarrow1.1\geq4-2.8=1.2 ✖️

Como el punto no verifica la última inecuación, entonces el punto no pertenece al recinto.


b) Los puntos donde una función tiene sus extremos han de ser alguno de los vértices del recinto.
Los vértices del recinto se calculan resolviendo los sistemas formado por los pares de ecuaciones:

A=\left\{\begin{array}{l}y=2x+1\\x=4-y\end{array}\right.\rightarrow A=(1,3)\\B=\left\{\begin{array}{l}y=2x+1\\y=13-4x\end{array}\right.\rightarrow B=(2,5)\\C=\left\{\begin{array}{l}x=4-y\\y=13-4x\end{array}\right.\rightarrow C=(3,1)

Evaluamos la función F(x,y)=-3x+1.5y en cada uno de los vértices:

A\rightarrow F(1,3)=-3\cdot1+1.5\cdot3=1.5\\B\rightarrow F(2,5)=1.5\\C\rightarrow F(3,1)=-7.5

Observamos que todos los puntos que están en el segmento entre A y B son puntos donde la función F obtiene su máximo de valor 1.5, y en el punto C, la función F alcanza su valor mínimo de -7.5.


c) La función F toma valores, en los puntos de la región sombreada en la gráfica, comprendidos en el intervalo [-7.5,1.5], por lo que existen puntos dentro del recinto donde F se anula.

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