Problema 586

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax-3x^2&\text{si}&x\leq1\\2x^2+b&\text{si}&x>1\end{array}\right.

a) Calcule los valores de a y b para que la función f sea derivable en x=1.
b) Para a=3 y b=-2, estudie la monotonía y curvatura de la función f.


Solución:

a) Para que f sea derivable en x=1 primero ha de ser continua en ese punto. Estudiamos la continuidad en x=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}2x^2+b=2+b\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}ax-3x^2=a-3\\\bullet~f(1)=a\cdot1-3\cdot1^2=a-3

Para que f sea continua en x=1 ha de ser 2+b=a-3.
Calculamos la derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a-6x&\text{si}&x<1\\4x&\text{si}&x>1\end{array}\right.

Estudiamos la derivabilidad de f en x=1:

\displaystyle\bullet~f'(1^+)=\lim_{x\rightarrow1^+}4x=4\\\bullet~f'(1^-)=\lim_{x\rightarrow1^-}a-6x=a-6

Luego, para que f sea derivable en x=1 ha de ser

\left\{\begin{array}{l}2+b=a-3\\4=a-6\end{array}\right.

sistema cuya solución es a=10, b=5.


b) f es una función a trozos formada por dos funciones polinómicas. Su dominio es todo \mathbb R.
Para estudiar su monotonía, comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}3-6x&\text{si}&x<1\\4x&\text{si}&x>1\end{array}\right.

\bullet~3-6x=0\rightarrow x=\frac12\\\bullet~4x=0\rightarrow x=0!!!

El segundo punto crítico no es válido ya que en ese caso ha de ser x>1.
Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos construimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,\frac12)&(\frac12,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-\infty,\frac12)\cup(1,+\infty)
  • Decrece en x\in(\frac12,1)

Para estudiar la curvatura comenzamos calculando los puntos de inflexión de f:

f''(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-6&\text{si}&x<1\\4&\text{si}&x>1\end{array}\right.

\bullet~-6=0!!!\\\bullet~4=0!!!

Por lo que f no tiene puntos de inflexión.
Con la siguiente tabla estudiamos la curvatura de f:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&+&-\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\mbox{Concava}&\mbox{Convexa}\\\hline\end{array}

  • La función es cóncava en (-∞,1)
  • La función es convexa en (1,+∞)

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