Se considera la función

a) Calcule los valores de a y b para que la función f sea derivable en x=1.
b) Para a=3 y b=-2, estudie la monotonía y curvatura de la función f.

Solución:

a) Para que f sea derivable en x=1 primero ha de ser continua en ese punto. Estudiamos la continuidad en x=1:

Para que f sea continua en x=1 ha de ser 2+b=a-3.
Calculamos la derivada de f:

Estudiamos la derivabilidad de f en x=1:

Luego, para que f sea derivable en x=1 ha de ser

sistema cuya solución es a=10, b=5.

b) f es una función a trozos formada por dos funciones polinómicas. Su dominio es todo .
Para estudiar su monotonía, comenzamos calculando sus puntos críticos:

El segundo punto crítico no es válido ya que en ese caso ha de ser x>1.
Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos construimos la siguiente tabla:

• Crece en
• Decrece en

Para estudiar la curvatura comenzamos calculando los puntos de inflexión de f:

Por lo que f no tiene puntos de inflexión.
Con la siguiente tabla estudiamos la curvatura de f:

• La función es cóncava en (-∞,1)
• La función es convexa en (1,+∞)

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