Problema 587

A una asamblea en al Universidad asisten 420 alumnos de los cuales 180 son de Empresariales, 72 de Relaciones Laborales y el resto de Derecho. Un tercio de los alumnos de Empresariales, dos tercios de los de Derecho y 16 alumnos de Relaciones Laborales votan NO a la huelga. El resto ha votado SÍ.

a) Calcule la probabilidad de que elegido un alumno al azar, sea de Empresariales y haya votado SÍ a la huelga.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar haya votado SÍ a la huelga?
c) Si elegido un alumno al azar, resulta que ha votado NO  a la huelga, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Relaciones Laborales?


Solución:

Con los datos del enunciado construimos el siguiente diagrama de árbol:

p587

siendo E el suceso «ser alumno de Empresariales», R el suceso «ser alumno de Relaciones Laborales», D el suceso «ser alumno de Derecho» y N el suceso «ser alumno que vota NO a la huelga».

a) La probabilidad de ser de Empresariales y haber votado SÍ es P[E\cap\overline N]:

P[E\cap\overline N]=P[\overline N/E]\cdot P[E]=\dfrac23\cdot\dfrac{180}{420}=\dfrac27


b) La probabilidad de que haya votado SÍ es P[\overline N]:

P[\overline N]=P[E]\cdot P[\overline N/E]+P[R]\cdot P[\overline N/R]+P[D]\cdot P[\overline N/D]=\\\\=\dfrac{180}{420}\cdot\dfrac23+\dfrac{72}{420}\cdot\dfrac{56}{72}+\dfrac{168}{420}\cdot\dfrac13=\dfrac{58}{105}


c) La probabilidad de que el alumno sea de Relaciones Laborales sabiendo que ha votado NO a la huelga es P[R/N]. Para hacer este cálculo necesitamos utilizar el teorema de Bayes:

\boxed{P[R/N]=\dfrac{P[N/R]\cdot P[R]}{P[N]}}=\dfrac{P[N/R]\cdot P[R]}{1-P[\overline N]}=\\\\=\dfrac{\frac{16}{72}\cdot\frac{72}{420}}{1-\frac{58}{105}}=\dfrac{\frac4{105}}{\frac{47}{105}}=\dfrac4{47}

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