Problema 588

El tiempo diario, en horas, que dedican los alumnos de una Facultad a las redes sociales sigue una ley Normal de desviación típica 2 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 alumnos con los siguientes tiempos en horas

6.5, 7, 6.25, 7, 5.5, 7.25, 6.75, 6.25, 6, 6.5

a) Determine el intervalo de confianza, al 90%, para el tiempo medio diario dedicado por los alumnos de esa Facultad a las redes sociales.
b) Utilizando el mismo nivel de confianza anterior, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempo medio diario, para un error de estimación máximo de 0.1 horas.


Solución:

a) El intervalo de confianza se escribe en la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

siendo \overline x la media de los datos de la muestra:

\overline x=\dfrac{\sum x_i}N=\dfrac{6.5+7+6.25+7+5.5+7.25+6.75+6.25+6+6.5}{10}=\\\\=\dfrac{65}{10}=6.5

y el error es E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}. Para un nivel de confianza del 90% tenemos z_{\alpha/2}=1.645.
Dado que \overline x=6.5, n=10 y σ=2, entonces

E=1.645\cdot\dfrac2{\sqrt{10}}=1.04

y el intervalo de confianza es:

(6.5-1.04,6.5+1.04)=(5.46,7.54)


b) Con el mismo nivel de confianza, tenemos z_{\alpha/2}=1.645.
Para calcular el tamaño de la muestra utilizamos la fórmula del error, donde usaremos σ=2 y E=0.1:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}~;\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=1082.4

luego, hay que tomar una muestra de al menos 1083 alumnos.

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