Problema 589

Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix}3&1\\8&3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}$

a) Compruébese que B es la matriz inversa de A.
b) Calcúlese la matriz X tal que AX=B.

Solución:

a) Una matriz B se dice que es inversa de A si AB=I.

$AB=\begin{pmatrix}3&1\\8&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$

luego B es la matriz inversa de A, es decir, B=A⁻¹.

b) Despejamos la matriz X de la ecuación matricial:

$AX=B~;\\\\A^{-1}AX=A^{-1}B~;\\\\X=A^{-1}B$

Como B=A⁻¹, entonces:

$X=B\cdot B=\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-8&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17&-6\\-48&17\end{pmatrix}$

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