Problema 590

Sea S la región del plano definida por:

x+y\leq50,\qquad2x+y\leq80,\qquad x\geq0,\qquad y\geq0

a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Obténgase el valor máximo de la función f(x,y)=5x+4y en la región S, indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor máximo.


Solución:

a) Para representar la región convertimos las inecuaciones en ecuaciones y representamos las rectas:

p590

x+y=50\rightarrow y=50-x\\2x+y=80\rightarrow y=80-2x\\x=0\\y=0

La región sombreada S está formada por todos los puntos que verifican todas las inecuaciones.
La región S tiene cuatro vértices que calculamos resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las rectas que se cortan en dicho vértice:

A=\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.\rightarrow A=(0,0)\\B=\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=50-x\end{array}\right.\rightarrow B=(0,50)\\C=\left\{\begin{array}{l}y=80-2x\\y=50-x\end{array}\right.\rightarrow C=(30,20)\\D=\left\{\begin{array}{l}y=80-2x\\y=0\end{array}\right.\rightarrow D=(40,0)


b) Evaluamos la función f(x,y)=5x+4y en cada uno de los vértices de la región S, pues ellos son los candidatos a maximizar o minimizar dicha función:

A\rightarrow f(0,0)=5\cdot0+4\cdot0=0\\B\rightarrow f(0,50)=200\\C\rightarrow f(30,20)=230\\D\rightarrow f(40,0)=200

Observamos que el máximo de f se obtiene en el punto x=30, y=20, y su valor es de 230.

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