Problema 591

Dada la función real de variable real definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{x+2}{x-1}&\text{si}&x\leq2\\\\\dfrac{3x^2-2x}{x+2}&\text{si}&x>2\end{array}\right.

a) Estúdiese si f es continua en x=2.
b) Calcúlese la función derivada de f para x<2.


Solución:

a) Estudiamos la continuidad de f en x=2:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{3x^2-2x}{x+2}=\dfrac84=2\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac41=4\\\bullet~f(2)=\dfrac{2+2}{2-1}=4

Luego, f no es continua en x=2, presentando una discontinuidad de salto finito.


b) La derivada de f para x<2 es:

\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)'=\dfrac{x-1-(x+2)}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}

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