Problema 593

La empresa Dulce.SA produce sobres de azúcar cuyo peso en gramos se puede aproximar por una variable aleatoria X con distribución normal con media μ gramos y desviacion típica σ=0.5 gramos.

a) Determínese el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de 0.25 gramos con un nivel de confianza del 95%.
b) Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 25 sobres, la media muestral, \overline X, pese más de 12.25 gramos, sabiendo que μ=12 gramos.


Solución:

a) Dado que el error cometido en la estimación de la media es

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

despejamos n para obtener el tamaño de la muestra:

\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

Sabiendo que σ=0.5, E=0.25 y que z_{\alpha/2}=1.96 para un nivel de confianza del 95%, entonces:

n=\left(1.96\cdot\dfrac{0.5}{0.25}\right)^2=(3.92)^2=15.37

Luego, debemos tomar un tamaño mínimo de n=16 para la muestra.


b) Nos piden calcular la probabilidad P[\overline X\geq12.25]. Comenzamos tipificando éste valor:

z=\dfrac{\overline X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}

Dado que n=25,~\mu=12,~\overline X=12.25,\text{ y }\sigma=0.5, tenemos que z=0.625. Por tanto:

P[\overline X\geq12.25]=P[z\geq0.625]=1-P[z<0.625]=1-0.73735=0.26265

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