Problema 594

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

\left\{\begin{array}{rl}x+ay+z&=1\\ax+y+(a-1)z&=a\\x+y+z&=a+1\end{array}\right.

a) Discútase en función de los valores del parámetro a.
b) Resuélvase para a=3.


Solución:

a) Escribimos el sistema en forma matricial:

\begin{pmatrix}1&a&1\\a&1&a-1\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\a\\a+1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

\begin{vmatrix}1&a&1\\a&1&a-1\\1&1&1\end{vmatrix}=1+a(a-1)+a-1-a^2-(a-1)=-a+1

determinante cuya raíz es a=1. Entonces:

  • Si a≠1, el rango de M es 3 que es igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que el sistema es compatible determinado.
  • Si a=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que
    \begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq0
    Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&2\end{vmatrix}=1+1-2-1=-1\neq0
    por lo que el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible.

b) Para a=3 el sistema es compatible determinado como vimos antes. Resolvemos el sistema

\begin{pmatrix}1&3&1\\3&1&2\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}

utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&2\\4&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&2\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{13}{-2}

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1\\3&3&2\\1&4&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&2\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{3}{-2}

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&3\\1&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&1\\3&1&2\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-24}{-2}=12

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