Problema 595

Se considera la función real de variable real f(x)=\dfrac{x^3}{(x+1)^2}

a) Calcúlense el dominio y las asíntotas de f.
b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.


Solución:

a) f es una función racional y su dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulen el denominador:

(x+1)^2=0~;\\\\x+1=0~;\\\\x=-1

por lo que el dominio es \mathbb R\setminus\{-1\}.

  • Asíntota vertical:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{x^3}{(x+1)^2}=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{x^3}{(x+1)^2}=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty
    Sí hay asíntota horizontal y su ecuación es x=-1.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3}{(x+1)^2}=\frac{\infty}{\infty}\underset{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^3}{(x+1)^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x^3}{(-x+1)^2}=\frac{\infty}{\infty}=\\\underset{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x^3}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-x=-\infty
    No tiene asíntota horizontal por lo que podría tener una asíntota oblicua:
  • Asíntota oblicua:
    \displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3}{x(x+1)^2}=\frac{\infty}{\infty}\underset{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3}{x^3}=\lim_{x\rightarrow+\infty}1=1\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3}{(x+1)^2}-x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3-x(x+1)^2}{(x+1)^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3-x(x^2+2x+1)}{(x+1)^2}=\\=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^3-x^3-2x^2-x}{(x+1)^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-2x^2-x}{(x+1)^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\underset{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-2x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-2=-2
    Luego, sí tiene asíntota oblicua y su ecuación es y=x-2.

b) Para estudiar la monotonía de f comenzamos por calcular sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{3x^2(x+1)^2-x^3\cdot2(x+1)}{(x+1)^4}=\dfrac{3x^2(x^2+2x+1)-2x^4-2x^3}{(x+1)^4}=\\\\=\dfrac{3x^4+6x^3+3x^2-2x^4-2x^3}{(x+1)^4}=\dfrac{x^4+4x^3+3x^2}{(x+1)^4}=\dfrac{x^2(x^2+4x+3)}{(x+1)^4}=0~;\\\\x^2(x^2+4x+3)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0, x=-1, x=-3.
Con estos puntos críticos y teniéndo en cuenta el dominio, construimos la siguiente tabla para estudiar la monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-3)&(-3,-1)&(-1,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en (-∞,-3)∪(-1,+∞)
  • Decrece en (-3,-1)

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