Problema 596

Se considera la función real de variable real: f(x)=2x^3-5x^2+3x

a) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función f y el eje OX.
b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.


Solución:

a) Calculamos los puntos donde la función f corta al eje OX, para ello igualamos ambas funciones y resolvemos:

2x^3-5x^2+3x=0~;\\\\x(2x^2-5x+3)=0

ecuación cuyas soluciones son x=0, x=1 y x=1.5. El área buscado es:

\displaystyle A=\left|\int_0^12x^3-5x^2+3x~dx\right|+\left|\int_1^{1.5}2x^3-5x^2+3x~dx\right|=\\\\=\left|\left[\dfrac{x^4}2-\dfrac{5x^3}3+\dfrac{3x^2}2\right]_0^1\right|+\left|\left[\dfrac{x^4}2-\dfrac{5x^3}3+\dfrac{3x^2}2\right]_1^{1.5}\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac12-\dfrac53+\dfrac32\right)-(0)\right|+\left|\left(\dfrac{1.5^4}2-\dfrac{5\cdot1.5^3}3+\dfrac{3\cdot1.5^2}2\right)-\left(\dfrac12-\dfrac53+\dfrac32\right)\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac{1.5^4}2-\dfrac{5\cdot1.5^3}3+\dfrac{3\cdot1.5^2}2\right)\right|=0.28125\text{ u.a.}


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso:

x_0=0~;\\\\f(0)=0~;\\\\f'(x)=6x^2-10x+3\rightarrow f'(0)=3

Luego, la ecuación de la recta tangente buscada es:

y-0=3\cdot(x-0)~;\\\\y=3x

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