Problema 598

El número de descargas por hora de cierta aplicación para móviles, se puede aproximar por una variable aleatoria de distribución normal de media μ descargas y desviación típica σ=20 descargas.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 40 horas, obteniéndose una media muestral de 99.5 descargas. Determínese un intervalo de confianza al 95% para μ.
b) Supóngase que μ=100 descargas. Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 horas, la media muestral, \overline x, esté entre 100 y 110 descargas.


Solución:

a) El intervalo de confianza tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

siendo la media muestral \overline x=99.5 y el error E

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

con σ=20, n=40 y z_{\alpha/2}=1.96 para un nivel de confianza del 95%. Luego

E=1.96\cdot\dfrac{20}{\sqrt{40}}=6.2

con lo que el intervalo de confianza resulta

(99.5-6.2,99.5+6.2)=(93.3,105.7)


b) Dado que μ=100, n=10 y σ=20, comenzamos tipificando los valores de \overline x con la fórmula:

z=\dfrac{\overline x-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}

  • Para \overline x=100\rightarrow z=\dfrac{100-100}{\frac{20}{\sqrt{10}}}=0
  • Para \overline x=110\rightarrow z=\dfrac{110-100}{\frac{20}{\sqrt{10}}}=\dfrac{\sqrt{10}}2=1.58

Luego, la probabilidad de que la media muestral esté entre 100 y 110 es:

P[100\leq x\leq110]=P[0\leq z\leq1.58]=\\\\=P[z\leq1.58]-P[z\leq0]=0.9429-0.5=0.4429

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