Problema 599

Considérense las matrices

A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}

a) Calcúlese la matriz [(AA^t)^2-2AA^t]^{11}.
b) Determínense el número de filas y columnas de la matriz X que verifica XA^t=B^t. Justifíquese si A^t es una matriz invertible y calcúlese la matriz X.


Solución:

a) Calcular [(AA^t)^2-2AA^t]^{11}:

AA^t=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}

(AA^t)^2=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&2\\0&1&0\\2&0&2\end{pmatrix}

(AA^t)^2-2AA^t=\begin{pmatrix}2&0&2\\0&1&0\\2&0&2\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}

Por comodidad, a esta matriz que ha resultado la llamamos C:

C=(AA^t)^2-2AA^t=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}

Hemos de calcular C¹¹:

C^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}

C^3=C^2C=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}=C

Observamos que C^{impar}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix} y que C^{par}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}, luego C^{11}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}.


b) Recordamos que para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz ha de ser igual al número de filas de la segunda. El resultado será una matriz con el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda.

X_{m\times n}A^t_{2\times3}=B^t_{1\times3}

Teniendo en cuenta lo anterior, ha de ser m=1 y n=2, es decir, la matriz X tiene una fila y dos columnas.
Calculamos la matriz X:

XA^t=B^t\\\\\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2&3\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix}b&a&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2&3\end{pmatrix}

de donde a=2 y b=3, por tanto, X=\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}.

 

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s