Problema 600

Considérese la región del plano S definida por:

S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:~x+2y\geq4;~x+2y\leq12;~x\leq4;~-x+2y\leq12\}

a) Represéntese gráficamente la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b) Determínense los puntos en los que la función f(x,y)=3x-y alcanza sus valores máximo y mínimo en S, indicando el valor de f en dichos puntos.


Solución:

a) Para representar la región S comenzamos por convertir las inecuaciones en ecuaciones lineales y representamos todas las rectas en una misma gráfica:

p600x+2y=4\\x+2y=12\\x=4\\-x+2y=12

La región S contiene los puntos que verifican todas las inecuaciones.
La región S tiene cuatro vértices que se calculan resolviendo los sistemas formados por las ecuaciones de las rectas que se cortan en dicho vértice.

A=\left\{\begin{array}{l}-x+2y=12\\x+2y=4\end{array}\right.\rightarrow A=(-4,4)\\B=\left\{\begin{array}{l}-x+2y=12\\x+2y=12\end{array}\right.\rightarrow B=(0,6)\\C=\left\{\begin{array}{l}x=4\\x+2y=12\end{array}\right.\rightarrow C=(4,4)\\D=\left\{\begin{array}{l}x=4\\x+2y=4\end{array}\right.\rightarrow D=(4,0)


b) Evaluamos la función f(x,y)=3x-y en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(-4,4)=-12-4=-16\\\\B\rightarrow f(0,6)=0-6=-6\\\\C\rightarrow f(4,4)=12-4=8\\\\D\rightarrow f(4,0)=12-0=12

Luego, f alcanza su valor máximo 12 en el punto (4,0) y su valor mínimo de -16 en el punto (-4,4).

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