Problema 601

Considérese la función real de variable real: f(x)=\dfrac x{1-4x^2}.

a) Determínese los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
b) Estúdiense las asíntotas de f.


Solución:

a) Primero determinamos el dominio de f. Al ser f una función racional su dominio serán todos los números reales salvo los que anulen el denominador:

1-4x^2=0~;\\4x^2=1~;\\x^2=\dfrac14~;\\x=\pm\dfrac12

es decir, \text{Dom} f=\mathbb R\setminus\{\frac12,-\frac12\}.

Para estudiar la monotonía de f calculamos sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{1-4x^2-x(-8x)}{(1-4x^2)^2}=\dfrac{1+4x^2}{(1-4x^2)^2}=0~;\\\\1+4x^2=0

ecuación de segundo grado que no tiene solución real, por lo que f no tiene puntos críticos.
Estudiamos la monotonía de f:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\frac12)&(-\frac12,\frac12)&(\frac12,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Esta función es creciente en el intervalo (-\infty,-\frac12)\cup(-\frac12,\frac12)\cup(\frac12,+\infty).


b) Comenzamos calculando las asíntotas verticales en los puntos donde no está definida la función:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-\frac12^+}\dfrac x{1-4x^2}=\dfrac{-\frac12}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\frac12^-}\dfrac x{1-4x^2}=\dfrac{-\frac12}{0^-}=+\infty\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow\frac12^+}\dfrac x{1-4x^2}=\dfrac{\frac12}{0^-}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow\frac12^-}\dfrac x{1-4x^2}=\dfrac{\frac12}{0^+}=+\infty

Por lo que existen dos asíntotas verticales de ecuaciones x=\frac12 y x=-\frac12.
Cálculo de la asíntota horizontal:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{1-4x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=IND=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{-4x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{-4x}=0^-\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac x{1-4x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x}{1-4(-x)^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x}{1-4x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\=IND=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x}{-4x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-1}{-4x}=0^+

Luego, existe una asíntota horizontal de ecuación y=0.

No tiene asíntota oblicua.

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