Problema 602

Se va a celebrar una carrera popular. Entre los participantes, dos de cada tres hombres y tres de cada cuatro mujeres han entrenado para la carrera.

a) Se eligen al azar y de forma independiente un hombre y una mujer de entre los participantes. Calcúlese la probabilidad de que alguno de ellos haya entrenado para la carrera.
b) Si el 65% de los participantes son hombres y el 35% mujeres y se elige un participante al azar, calcúlese la probabilidad de que sea hombre sabiendo que ha entrenado para la carrera.


Solución:

a) Sea H el suceso “ser hombre que entrena”, \overline H el suceso “ser hombre que no entrena”, M el suceso “ser mujer que entrena” y \overline M el suceso “ser mujer que no entrena”. Con los datos y la experiencia de elegir un hombre y una mujer al azar, construimos el siguiente diagrama de árbol:

p602

Que alguno de los dos haya entrenado para la carrera es el suceso contrario de que ninguno de los dos haya entrenado para la carrera:

P[\text{alguno ha entrenado}]=1-P[\text{ninguno ha entrenado}]=\\\\=1-P[\overline H\cap\overline M]=1-P[\overline H]\cdot P[\overline M/\overline H]=1-\dfrac13\cdot\dfrac14=1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}


b) Sea H el suceso “ser hombre”, M el suceso “ser mujer” y E el suceso “haber entrenado”. Con los datos del problema construimos la siguiente tabla de contingencia:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &H&M&\text{Total}\\\hline E&43&26&69\\\hline \overline E&22&9&31\\\hline\text{Total}&65&35&100\\\hline\end{array}

sabiendo que el 65% de los participantes son hombres, el 35% son mujeres, que 2/3 de los hombres entrenan y que 3/4 partes de las mujeres también lo hacen.

Sabiendo que una persona elegida al azar ha entrenado, la probabilidad de que sea hombre es P[H/E]:

P[H/E]=\dfrac{P[H\cap E]}{P[E]}=\dfrac{\frac{43}{100}}{\frac{69}{100}}=\dfrac{49}{69}

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