Se va a celebrar una carrera popular. Entre los participantes, dos de cada tres hombres y tres de cada cuatro mujeres han entrenado para la carrera.
a) Se eligen al azar y de forma independiente un hombre y una mujer de entre los participantes. Calcúlese la probabilidad de que alguno de ellos haya entrenado para la carrera.
b) Si el 65% de los participantes son hombres y el 35% mujeres y se elige un participante al azar, calcúlese la probabilidad de que sea hombre sabiendo que ha entrenado para la carrera.
Solución:
a) Sea H el suceso “ser hombre que entrena”, 
Que alguno de los dos haya entrenado para la carrera es el suceso contrario de que ninguno de los dos haya entrenado para la carrera:
![P[\text{alguno ha entrenado}]=1-P[\text{ninguno ha entrenado}]=\\\\=1-P[\overline H\cap\overline M]=1-P[\overline H]\cdot P[\overline M/\overline H]=1-\dfrac13\cdot\dfrac14=1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5B%5Ctext%7Balguno+ha+entrenado%7D%5D%3D1-P%5B%5Ctext%7Bninguno+ha+entrenado%7D%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D1-P%5B%5Coverline+H%5Ccap%5Coverline+M%5D%3D1-P%5B%5Coverline+H%5D%5Ccdot+P%5B%5Coverline+M%2F%5Coverline+H%5D%3D1-%5Cdfrac13%5Ccdot%5Cdfrac14%3D1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B12%7D%3D%5Cdfrac%7B11%7D%7B12%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[\text{alguno ha entrenado}]=1-P[\text{ninguno ha entrenado}]=\\\\=1-P[\overline H\cap\overline M]=1-P[\overline H]\cdot P[\overline M/\overline H]=1-\dfrac13\cdot\dfrac14=1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}")
b) Sea H el suceso “ser hombre”, M el suceso “ser mujer” y E el suceso “haber entrenado”. Con los datos del problema construimos la siguiente tabla de contingencia:
sabiendo que el 65% de los participantes son hombres, el 35% son mujeres, que 2/3 de los hombres entrenan y que 3/4 partes de las mujeres también lo hacen.
Sabiendo que una persona elegida al azar ha entrenado, la probabilidad de que sea hombre es ![P[H/E]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BH%2FE%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[H/E]")
![P[H/E]=\dfrac{P[H\cap E]}{P[E]}=\dfrac{\frac{43}{100}}{\frac{69}{100}}=\dfrac{49}{69}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BH%2FE%5D%3D%5Cdfrac%7BP%5BH%5Ccap+E%5D%7D%7BP%5BE%5D%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cfrac%7B43%7D%7B100%7D%7D%7B%5Cfrac%7B69%7D%7B100%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B49%7D%7B69%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "P[H/E]=\dfrac{P[H\cap E]}{P[E]}=\dfrac{\frac{43}{100}}{\frac{69}{100}}=\dfrac{49}{69}")
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