Problema 603

📖Distribución de probabilidad CCSS, Selectividad Mat CCSSDistribución normal, Intervalo de confianza, Tamaño muestraldurán

La distancia anual, en kilómetros (km), que recorren las furgonetas de una empresa de reparto, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ km y desviación típica σ=24000 km.

a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que la amplitud del intervalo de confianza al 95% para μ sea a lo sumo de 23550 km.
b) Se toma una muestra aleatoria simple de 25 furgonetas. Suponiendo que μ=150000 km, calcúlese la probabilidad de que la distancia media anual observada, $\overline x$ , esté entre 144240 km y 153840 km.

Solución:

a) Dado que la amplitud A es el doble que el error E, entonces

$E=\dfrac A2=\dfrac{23550}2=11775\text{ km}$

A partir de la fórmula del error

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$

podemos obtener el tamaño muestral n sabiendo que $z_{\alpha/2}=1.96$ para un nivel de confianza del 95%. Despejamos n:

$\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=\left(1.96\cdot\dfrac{24000}{11775}\right)^2=15.95$

Luego, hemos de tomar una muestra de 16 furgonetas.

b) Nos piden calcular la probabilidad $P[144240\leq\overline x\leq153840]$ .
Comenzamos tipificando ambos valores utilizando la fórmula:

$z=\dfrac{\overline x-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}$

$\bullet~z=\dfrac{144240-150000}{\frac{24000}{\sqrt{25}}}=-1.2\\\bullet~z=\dfrac{153840-150000}{\frac{24000}{\sqrt{25}}}=0.8$

Luego

$p=P[144240\leq\overline x\leq153840]=P[-1.2\leq z\leq0.8]=\\\\=P[z\leq0.8]-P[z\leq-1.2]=P[z\leq0.8]-(1-P[z\leq1.2])=\\\\=P[z\leq0.8]-1+P[z\leq1.2]$

Observando la tabla de probabilidades, tenemos que

$P[z\leq0.8]=0.7881\\P[z\leq1.2]=0.8849$

y tenemos el resultado buscado

$p=P[z\leq0.8]-1+P[z\leq1.2]=0.7881-1+0.8849=0.673$

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