Problema 603

Distribución de probabilidad CCSS, Selectividad Mat CCSS, ,

La distancia anual, en kilómetros (km), que recorren las furgonetas de una empresa de reparto, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ km y desviación típica σ=24000 km.

a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que la amplitud del intervalo de confianza al 95% para μ sea a lo sumo de 23550 km.
b) Se toma una muestra aleatoria simple de 25 furgonetas. Suponiendo que μ=150000 km, calcúlese la probabilidad de que la distancia media anual observada, \overline x, esté entre 144240 km y 153840 km.

Solución:

a) Dado que la amplitud A es el doble que el error E, entonces

E=\dfrac A2=\dfrac{23550}2=11775\text{ km}

A partir de la fórmula del error

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

podemos obtener el tamaño muestral n sabiendo que z_{\alpha/2}=1.96 para un nivel de confianza del 95%. Despejamos n:

\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=\left(1.96\cdot\dfrac{24000}{11775}\right)^2=15.95

Luego, hemos de tomar una muestra de 16 furgonetas.

b) Nos piden calcular la probabilidad P[144240\leq\overline x\leq153840].
Comenzamos tipificando ambos valores utilizando la fórmula:

z=\dfrac{\overline x-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}

\bullet~z=\dfrac{144240-150000}{\frac{24000}{\sqrt{25}}}=-1.2\\\bullet~z=\dfrac{153840-150000}{\frac{24000}{\sqrt{25}}}=0.8

Luego

p=P[144240\leq\overline x\leq153840]=P[-1.2\leq z\leq0.8]=\\\\=P[z\leq0.8]-P[z\leq-1.2]=P[z\leq0.8]-(1-P[z\leq1.2])=\\\\=P[z\leq0.8]-1+P[z\leq1.2]

Observando la tabla de probabilidades, tenemos que

P[z\leq0.8]=0.7881\\P[z\leq1.2]=0.8849

y tenemos el resultado buscado

p=P[z\leq0.8]-1+P[z\leq1.2]=0.7881-1+0.8849=0.673

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