Problema 604

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $a\in\mathbb R$ :

$\left\{\begin{array}{rl}x+3y+z&=a\\2x+ay-6z&=8\\x-3y-5z&=4\end{array}\right.$

a) Discútase el sistema en función de los valores del parámetro real a.
b) Resuélvase para a=4.

Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

$M=\begin{pmatrix}1&3&1\\2&a&-6\\1&-3&-5\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&3&1&a\\2&a&-6&8\\1&-3&-5&4\end{pmatrix}$

Comenzamos calculando el rango de M:

$\begin{vmatrix}1&3&1\\2&a&-6\\1&-3&-5\end{vmatrix}=-5a-18-6-a+30-18=-6a-12$

determinante cuya raíz es a=-1.

Si a≠-1, el rango de M es 3 que será igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas, por lo que el sistema será compatible determinado.
Si a=-1, entonces $M=\begin{pmatrix}1&3&1\\2&-1&-6\\1&-3&-5\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}=-7\neq0$ . Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}1&3&-1\\2&-1&8\\1&-3&4\end{vmatrix}=-4+24+6-1-24+24=25\neq0$
Por lo que el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.