Problema 604

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a\in\mathbb R:

\left\{\begin{array}{rl}x+3y+z&=a\\2x+ay-6z&=8\\x-3y-5z&=4\end{array}\right.

a) Discútase el sistema en función de los valores del parámetro real a.
b) Resuélvase para a=4.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&3&1\\2&a&-6\\1&-3&-5\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&3&1&a\\2&a&-6&8\\1&-3&-5&4\end{pmatrix}

Comenzamos calculando el rango de M:

\begin{vmatrix}1&3&1\\2&a&-6\\1&-3&-5\end{vmatrix}=-5a-18-6-a+30-18=-6a-12

determinante cuya raíz es a=-1.

  • Si a≠-1, el rango de M es 3 que será igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas, por lo que el sistema será compatible determinado.
  • Si a=-1, entonces M=\begin{pmatrix}1&3&1\\2&-1&-6\\1&-3&-5\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}=-7\neq0. Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&3&-1\\2&-1&8\\1&-3&4\end{vmatrix}=-4+24+6-1-24+24=25\neq0
    Por lo que el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.

b) Para a=4 el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x+3y+z&=4\\2x+4y-6z&=8\\x-3y-5z&=4\end{array}\right.

el cuál sabemos que es compatible determinado. Lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}4&3&1\\8&4&-6\\4&-3&-5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&1\\2&4&-6\\1&-3&-5\end{vmatrix}}=\dfrac{-144}{-36}=4

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&4&1\\2&8&-6\\1&4&-5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&1\\2&4&-6\\1&-3&-5\end{vmatrix}}=\dfrac{0}{-36}=0

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&3&4\\2&4&8\\1&-3&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&1\\2&4&-6\\1&-3&-5\end{vmatrix}}=\dfrac{0}{-36}=0

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