Problema 605

Los beneficios, en millones de euros, de una determinada inversión vienen dados por la función f(x)=x^3-12x, donde x representa cierto índice que puede tomar cualquier valor real.

a) Determínese, en el caso de que exista, el valor del índice para el que el beneficio es mayor que el de todos los valores de un entorno suyo. ¿Cuál sería el beneficio para ese valor del índice?
b) Supóngase que el valor actual del índice es x=4 y que está previsto que éste experimente un incremento positivo. Justifíquese si el beneficio aumentará o disminuirá.


Solución:

a) Los candidatos a ser puntos máximos o mínimos locales de una función son los puntos críticos. Calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=3x^2-12=0~;\\\\3x^2=12~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

Para determinar cuáles de estos dos puntos críticos es un máximo local, utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=6x\\\\\bullet~f''(2)=6\cdot 2=12\\\bullet~f''(-2)=6\cdot(-2)=-12

El máximo se obtiene para x=-2 y el valor del beneficio en este caso es:

f(-2)=(-2)^3-12\cdot(-2)=-8+24=16 millones de euros.


b) Calculamos el valor de la derivada en x=4:

f'(4)=3\cdot4^2-12=36>0

Como la derivada de f es positiva en x=4 entonces la función f es creciente en las proximidades de dicho punto, por lo que el beneficio aumentará si aumenta el valor del índice.

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