Problema 606

Se considera la función real de variable real definida por:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^3+2e^x&\text{si}&x<0\\\\\dfrac2{3+x}&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Determínese el dominio de f y estúdiese su continuidad.
b) Calcúlese \displaystyle\int_{-1}^0f(x)~dx.


Solución:

a) La función y=x^3+2e^x está definida en todo \mathbb R, en particular para los valores x<0, donde también es continua.
La función y=\dfrac2{3+x} es una función racional definida en \mathbb R\setminus\{-3\}, en particular para x≥0.
El dominio es, por tanto, \mathbb R.

Queda estudiar la continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac2{3+x}=\dfrac23\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}x^3+2e^x=0+2=2\\\bullet~f(0)=\dfrac2{3+0}=\dfrac23

Luego, la función f es continua en el intervalo \mathbb R\setminus\{0\}


b) Calculamos la integral

\displaystyle\int_{-1}^0x^3+2e^x~dx=\left[\dfrac{x^4}4+2e^x\right]_{-1}^0=\left(\dfrac{0^4}4+2e^0\right)-\left(\dfrac{(-1)^4}4+2e^{-1}\right)=\\\\=2-\dfrac14-\dfrac2e=\dfrac{8e-e-8}{4e}=\dfrac{7e-8}{4e}\approx1.014

 

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