Problema 608

Una empresa quiere lanzar un producto al mercado. Por ello desea estimar la proporción de individuos, p_n, que estarían dispuestos a comprarlo.

a) Asumiendo que la proporción poblacional es p=0.5, determínese el tamaño mínimo necesario de una muestra de individuos para garantizar que, con una confianza del 95%, el margen de error en la estimación no supere el 3% (±3%).
b) Se tomó una muestra aleatoria simple de 450 individuos de los cuales 90 afirmaron que comprarían el producto. Obténgase un intervalo de confianza del 90% para la proporción de individuos que estarían dispuestos a comprar el producto.


Solución:

a) Dado que el error es E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}, despejamos n para obtener el tamaño muestra.

E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;\\\\E^2=z_{\alpha/2}^2\dfrac{p(1-p)}{n}~;\\\\n=z_{\alpha/2}^2\dfrac{p(1-p)}{E^2}

Para un nivel de confianza del 95% tenemos z_{\alpha/2}=1.96, un error del 3% significa que E=0.03, luego

n=z_{\alpha/2}^2\dfrac{p(1-p)}{E^2}=1.96^2\cdot\dfrac{0.5\cdot(1-0.5)}{0.03^2}=1067.1

por lo que hay que tomar una muestra de 1068 individuos.


b) Como 90 de los 450 individuos afirmaron que comprarían el producto, tenemos que p_n=\frac{90}{450}=0.2.

El intervalo de confianza para la proporción tiene la forma

(p_n-E,p_n+E)

Siendo el error

E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Para un nivel de confianza del 90% tenemos que z_{\alpha/2}=1.645, luego

E=1.645\cdot\sqrt{\dfrac{0.2\cdot(1-0.2)}{450}}=0.031

de donde resulta el intervalo de confianza para la proporción:

(0.2-0.031,0.2+0.031)=(0.169,0.231)

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