Problema 609

Se consideran las siguientes matrices

A=\begin{pmatrix}k&1&2\\1&4&3\\0&0&7\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\4&0&3\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\\1&0\end{pmatrix}

a) Obténgase el valor de la constante k para que el determinante de la matriz A-2B sea nulo.
b) Determínese si las matrices C y (C^t\cdot C), donde C^t denota la matriz traspuesta de C, son invertibles. En caso afirmativo, calcúlense las inversas.


Solución:

a) Calculamos la matriz A-2B:

A-2B=\begin{pmatrix}k&1&2\\1&4&3\\0&0&7\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\4&0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k-2&1&0\\1&2&3\\-8&0&1\end{pmatrix}

cuyo determinante es

\begin{vmatrix}k-2&1&0\\1&2&3\\-8&0&1\end{vmatrix}=2(k-2)-24-1=2k-29

Este determinante es nulo para k=\dfrac{29}2.


b) Para que una matriz sea invertible primero ha de ser cuadrada de determinante no nulo, por lo que la matriz C no es invertible por no ser cuadrada.
La matriz (C^t\cdot C) es:

C^t\cdot C=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}

cuyo determinante vale 4-1=3 por lo que la matriz (C^t\cdot C) sí es invertible.

Para calcular su inversa recordamos la fórmula de la matriz inversa de una matriz cuadrada M:

M^{-1}=\dfrac1{|M|}\cdot(\text{Adj}M)^t

En nuestro caso M=C^t\cdot C=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}

|M|=3

\text{Adj}M=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}

M^{-1}=\dfrac13\cdot\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}

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