Problema 609

Se consideran las siguientes matrices

$A=\begin{pmatrix}k&1&2\\1&4&3\\0&0&7\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\4&0&3\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\\1&0\end{pmatrix}$

a) Obténgase el valor de la constante k para que el determinante de la matriz A-2B sea nulo.
b) Determínese si las matrices C y $(C^t\cdot C)$ , donde $C^t$ denota la matriz traspuesta de C, son invertibles. En caso afirmativo, calcúlense las inversas.

Solución:

a) Calculamos la matriz A-2B:

$A-2B=\begin{pmatrix}k&1&2\\1&4&3\\0&0&7\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\4&0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k-2&1&0\\1&2&3\\-8&0&1\end{pmatrix}$

cuyo determinante es

$\begin{vmatrix}k-2&1&0\\1&2&3\\-8&0&1\end{vmatrix}=2(k-2)-24-1=2k-29$

Este determinante es nulo para $k=\dfrac{29}2$ .

b) Para que una matriz sea invertible primero ha de ser cuadrada de determinante no nulo, por lo que la matriz C no es invertible por no ser cuadrada.
La matriz $(C^t\cdot C)$ es:

$C^t\cdot C=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$