Problema 610

Una voluntaria quiere preparar helado artesano y horchata de auténtica chufa para un rastrillo solidario. La elaboración de cada litro de helado lleva 1 hora de trabajo y la elaboración de un litro de horchata 2 horas. Como la horchata no necesita leche, sabe que puede preparar hasta 15 litros de helado con la leche que tiene. Para que haya suficiente para todos los asistentes, tiene que preparar al menos 10 litros entre helado y horchata, en un máximo de 20 horas.

a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores.
b) Si el beneficio por litro es de 25 euros para el helado y 12 euros para la horchata, obténgase la cantidad de cada producto que se deberá preparar para maximizar el beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podría obtenerse.


Solución:

a) Sea x el número de litros de helado e y el número de litros de horchata a preparar.
Nos dicen que podemos preparar hasta 15 litros de helado: x≤15.
Entre el helado y la horchata debe haber al menos 10 litros: x+y≥10.
Sabiendo que preparar un litro de helado lleva una hora y preparar un litro de horchata lleva dos horas, tenemos un máximo de 20 horas, es decir: x+2y≤20.
Nos faltan las dos restricciones naturales: x≥0, y≥0.

Tenemos así todas las restricciones:

\left\{\begin{array}{l}x\leq15\\x+y\geq10\\x+2y\leq20\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos estas inecuaciones en forma de ecuación y representamos las rectas que resultan:

p610\left\{\begin{array}{ll}x=15&\\x+y=10&\rightarrow y=10-x\\x+2y=20&\rightarrow y=\dfrac{20-x}2\\x=0&\\y=0&\end{array}\right.

La región sombreada es el lugar geométrico de los puntos que verifican todas las restricciones. Se le llama región factible.


b) Definimos la función beneficio que será B(x,y)=25x+12y, función que obtendrá sus valores extremos en alguno de los vértices de la región factible.
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=10\\x+2y=20\end{array}\right.\rightarrow A=(0,10)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=15\\x+2y=20\end{array}\right.\rightarrow B=(15,2.5)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=15\\y=0\end{array}\right.\rightarrow C=(15,0)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=10\\y=0\end{array}\right.\rightarrow D=(10,0)

Evaluamos la función beneficio en cada vértice:

A\rightarrow B(0,10)=25\cdot0+12\cdot10=120\\B\rightarrow B(15,2.5)=405\\C\rightarrow B(15,0)=375\\D\rightarrow B(10,0)=250

El máximo de la función beneficio se obtiene en el vértice B, por tanto, si queremos obtener el máximo beneficio hemos de preparar 15 litros de helado y 2.5 litros de horchata. El beneficio será de 405 euros.

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