Problema 611

La derivada de una función real de variable real, $f(x)$ , viene dada por la expresión

$f'(x)=2x^2-4x-6$

a) Obténgase la expresión de la función f sabiendo que pasa por el punto (0,3).
b) Determínense los extremos relativos de la función f indicando si corresponden a máximos o mínimos relativos y estúdiese la concavidad (∪) y convexidad (∩) de esta función.

Solución:

a) Para obtener la expresión de una función a partir de su derivada, hemos de integrar dicha derivada:

$\displaystyle f(x)=\int 2x^2-4x-6~dx=\dfrac{2x^3}3-2x^2-6x+k$

Sabemos que f pasa por el punto (0,3), es decir: $f(0)=3$ , dato que nos permitirá calcular la constante de integración k:

$f(0)=\dfrac{2\cdot0^3}3-2\cdot0^2-6\cdot 0+k=k$

y como $f(0)=3$ , entonces k=3.

La función buscada es:

$f(x)=\dfrac{2x^3}3-2x^2-6x+3$

b) Los extremos relativos de una función f corresponden a puntos crítico. Calculamos los puntos críticos de f:

$f'(x)=2x^2-4x-6=0$

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son las abscisas de los dos puntos críticos: x=3, x=-1.
Para caracterizar los puntos críticos utilizamos el test de la derivada segunda:

$f''(x)=4x-4\\\\x=3\rightarrow f''(3)=8\\x=-1\rightarrow f''(-1)=-8$