Problema 611

La derivada de una función real de variable real, f(x), viene dada por la expresión

f'(x)=2x^2-4x-6

a) Obténgase la expresión de la función f sabiendo que pasa por el punto (0,3).
b) Determínense los extremos relativos de la función f indicando si corresponden a máximos o mínimos relativos y estúdiese la concavidad (∪) y convexidad (∩) de esta función.


Solución:

a) Para obtener la expresión de una  función a partir de su derivada, hemos de integrar dicha derivada:

\displaystyle f(x)=\int 2x^2-4x-6~dx=\dfrac{2x^3}3-2x^2-6x+k

Sabemos que f pasa por el punto (0,3), es decir: f(0)=3, dato que nos permitirá calcular la constante de integración k:

f(0)=\dfrac{2\cdot0^3}3-2\cdot0^2-6\cdot 0+k=k

y como f(0)=3, entonces k=3.

La función buscada es:

f(x)=\dfrac{2x^3}3-2x^2-6x+3


b) Los extremos relativos de una función f corresponden a puntos crítico. Calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=2x^2-4x-6=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son las abscisas de los dos puntos críticos: x=3, x=-1.
Para caracterizar los puntos críticos utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=4x-4\\\\x=3\rightarrow f''(3)=8\\x=-1\rightarrow f''(-1)=-8

Luego, en x=3 tenemos un mínimo relativo, (3,-15), y en x=-1 tenemos un máximo relativo, (-1,\frac{19}3).

Para estudiar la curvatura comenzamos calculando los puntos de inflexión de f:

f''(x)=4x-4=0\\\\x=1

Teniendo en cuenta que el dominio de f es todo \mathbb R y el punto de inflexión, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\cap&\cup\\\hline\end{array}

  • f es cóncava en (1,+∞).
  • f es convexa en (-∞,1).

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