La derivada de una función real de variable real, , viene dada por la expresión

a) Obténgase la expresión de la función f sabiendo que pasa por el punto (0,3).
b) Determínense los extremos relativos de la función f indicando si corresponden a máximos o mínimos relativos y estúdiese la concavidad (∪) y convexidad (∩) de esta función.

Solución:

a) Para obtener la expresión de una  función a partir de su derivada, hemos de integrar dicha derivada:

Sabemos que f pasa por el punto (0,3), es decir: , dato que nos permitirá calcular la constante de integración k:

y como , entonces k=3.

La función buscada es:

b) Los extremos relativos de una función f corresponden a puntos crítico. Calculamos los puntos críticos de f:

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son las abscisas de los dos puntos críticos: x=3, x=-1.
Para caracterizar los puntos críticos utilizamos el test de la derivada segunda:

Luego, en x=3 tenemos un mínimo relativo, (3,-15), y en x=-1 tenemos un máximo relativo, .

Para estudiar la curvatura comenzamos calculando los puntos de inflexión de f:

Teniendo en cuenta que el dominio de f es todo y el punto de inflexión, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla:

• f es cóncava en (1,+∞).
• f es convexa en (-∞,1).

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