Problema 612

Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P[A]=0.6,~P[B]=0.8,~P[A\cap\overline B]=0.1.

a) Calcúlese la probabilidad de que ocurra el suceso A si no ha ocurrido el suceso B y determínese si los sucesos A y \overline B son independientes. \overline B denota el complementario del suceso B.
b) Obténgase la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos, A o B.


Solución:

a) La probabilidad de que ocurra A sabiendo que no ha ocurrido B es P[A/\overline B]:

P[A/\overline B]=\dfrac{P[A\cap\overline B]}{P[\overline B]}=\dfrac{P[A\cap\overline B]}{1-P[B]}=\dfrac{0.1}{1-0.8}=0.5

Los sucesos A y \overline B son independientes si P[A]\cdot P[\overline B]=P[A\cap\overline B]:

P[A]\cdot P[\overline B]=P[A]\cdot(1-P[B])=0.6\cdot(1-0.8)=0.12\neq0.1=P[A\cap\overline B]

Luego, ambos sucesos no son independientes.


b) La probabilidad de que ocurran los sucesos A o B es P[A\cup B]:

P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]

Pero, dado que:

P[A\cap\overline B]=P[A]-P[A\cap B]

entonces

P[A\cap B]=P[A]-P[A\cap\overline B]=0.6-0.1=0.5

luego

P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]=0.6+0.8-0.5=0.9

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