Problema 614

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro real m:

\left\{\begin{array}{rl}-x+y+z&=0\\x+my-z&=0\\x-y-mz&=0\end{array}\right.

a) Determínense los valores del parámetro real m para que el sistema tenga soluciones diferentes a la solución trivial x=y=z=0.
b) Resuélvase el sistema para m=1.


Solución:

a) Observamos que este sistema es homogéneo por lo que para que este sistema tenga soluciones distintas a la solución trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminado.
Según el teorema de Rouché-Fröbenius, para que este sistema sea compatible indeterminado, ha de ser el rango de la matriz de coeficientes M menor que el número de variables n=3:

M=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&m&-1\\1&-1&-m\end{pmatrix}

Para que el rango de M sea inferior a 3, su determinante ha de ser 0:

|M|=m^2-1-1-m+m+1=m^2-1=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son m=1, m=-1.

Por tanto, para que el sistema tenga soluciones distintas a la solución trivial ha de ser m=1 o m=-1.


b) Para m=1, tenemos que la matriz de coeficientes es

M=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix}

cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&1\\1&1\end{vmatrix}=-2.
El sistema original es equivalente a

\left\{\begin{array}{rl}-x+y+z&=0\\x+y-z&=0\end{array}\right.

Parametrizamos z=λ, con lo que obtenemos

\left\{\begin{array}{rl}-x+y&=-\lambda\\x+y&=\lambda\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones obtenemos 2y=0 de donde y=0, y x=λ.

Por tanto, la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=0\\z=\lambda\end{array}\right.

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