Problema 615

Se considera la función real de variable real:

f(x)=\dfrac8{x^2+4}

a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y obténganse las asíntotas verticales y horizontales, si las tuviere.
b) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa x=2.


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de una función f comenzamos por calcular sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{-8\cdot2x}{(x^2+4)^2}=\dfrac{-16x}{(x^2+4)^2}=0~;\\\\-16x=0~;\\\\x=0

Teniendo en cuenta que el dominio de f es todo \mathbb R, ya que es una función racional sin raíces en el denominador, entonces obtenemos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en (-∞,0)
  • Decrece en (0,+∞)

En cuanto a las asíntotas, f no tiene asíntota vertical ya que el dominio es \mathbb R y es continua por tratarse de una función racional. Veamos si tiene asíntota horizontal:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac8{x^2+4}=\dfrac8{+\infty}=0^+\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac8{x^2+4}=\dfrac8{+\infty}=0^+

f presenta una asíntota horizontal de ecuación y=0.


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisas x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=2 por lo que

f(2)=\dfrac8{2^2+4}=1\\\\f'(2)=\dfrac{-16\cdot2}{(2^2+4)^2}=\dfrac{-32}{64}=-0.5

Luego, la ecuación buscada es:

y-1=-0.5\cdot(x-2)~;\\\\y=-0.5x+2

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s