Problema 615

Se considera la función real de variable real:

$f(x)=\dfrac8{x^2+4}$

a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y obténganse las asíntotas verticales y horizontales, si las tuviere.
b) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa x=2.

Solución:

a) Para estudiar la monotonía de una función f comenzamos por calcular sus puntos críticos:

$f'(x)=\dfrac{-8\cdot2x}{(x^2+4)^2}=\dfrac{-16x}{(x^2+4)^2}=0~;\\\\-16x=0~;\\\\x=0$

Teniendo en cuenta que el dominio de f es todo $\mathbb R$ , ya que es una función racional sin raíces en el denominador, entonces obtenemos la siguiente tabla de monotonía:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$

Crece en (-∞,0)
Decrece en (0,+∞)

En cuanto a las asíntotas, f no tiene asíntota vertical ya que el dominio es $\mathbb R$ y es continua por tratarse de una función racional. Veamos si tiene asíntota horizontal:

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac8{x^2+4}=\dfrac8{+\infty}=0^+\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac8{x^2+4}=\dfrac8{+\infty}=0^+$