Problema 616

La función real de variable real, f(x), se define según la siguiente expresión:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^x+k&\text{si}&x\leq0\\\\1-x^2&\text{si}&0<x\leq3\\\\\dfrac1{x-3}&\text{si}&x>3\end{array}\right.

a) Analícese la continuidad de la función en todo su dominio según los valores de k.
b) Considerando k=0, obténgase el área del recinto acotado delimitado por la función f, el eje de abscisas y las rectas x=-1 y x=1.


Solución:

a) f es una función a trozos formado por tres funciones continuas en todo \mathbb R, excepto y=\dfrac1{x-3} que no es continua en x=3.
Estudiamos la continuidad en x=0 y x=3.

  • Continuidad en x=0:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}1-x^2=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}e^x+k=1+k\\\bullet~f(0)=e^0+k=1+k
    de donde ha de ser k=0 para que f sea continua en x=0.
  • Continuidad en x=3:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^+}\dfrac1{x-3}=\dfrac1{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}1-x^2=-8\\\bullet~f(3)=1-3^2=-8
    por lo que f presenta una discontinuidad de salto infinito en x=3.

Luego, para k≠0 se tiene que f es continua en \mathbb R\setminus\{0,3\}. Para k=0, f es continua en \mathbb R\setminus\{3\}.


b) El área buscada es:

\displaystyle S=\int_{-1}^0e^x~dx+\int_0^11-x^2~dx=\left[e^x\right]_{-1}^0+\left[x-\dfrac{x^3}3\right]_0^1=\\\\=e^0-e^{-1}+1-\dfrac13=2-\dfrac13-\dfrac1e=\dfrac{6e-e-3}{3e}=\dfrac{5e-3}{3e}\text{ u.a.}

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