Problema 618

El peso de las mochilas escolares de los niños de 5º y 6º de primaria, medido en kilogramos, puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de media μ kilogramos y desviación típica σ=1.5 kilogramos.

a) En un estudio se tomó una muestra aleatoria simple de dichas mochilas escolares y se estimó el peso medio utilizando un intervalo de confianza del 95%. La amplitud de este intervalo resultó ser 0.49 kilogramos. Obténgase el número de mochilas seleccionadas en la muestra.
b) Supóngase que μ=6 kilogramos. Seleccionada una muestra aleatoria simple de 225 mochilas escolares, calcúlese la probabilidad de que el peso medio muestral supere los 5.75 kilogramos, que es la cantidad máxima recomendada para los escolares de estos cursos.


Solución:

a) Para un intervalo de confianza del 95% tenemos que z_{\alpha/2}=1.96.
Dado que la amplitud del intervalo es de 0.49, entonces el error del intervalo es \dfrac{0.49}2=0.245.
El tamaño muestral es:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{E}\right)^2=\left(1.96\cdot\dfrac{1.5}{0.245}\right)^2=144

Por tanto, hemos de tomar una muestra de 144 mochilas.


b) Tenemos que μ=6, n=225 y σ=1.5.
Nos piden calcular que la media supere el valor 5.75: p[\overline x>5.75].
Tipificamos este valor con la fórmula:

\boxed{z=\dfrac{\overline x-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}}

z=\dfrac{5.75-6}{\frac{1.5}{\sqrt{225}}}=-2.5

Entonces

p[\overline x>5.75]=p[z>-2.5]=p[z<2.5]=0.9938

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