Problema 619

Se dan la matriz A=\begin{pmatrix}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{pmatrix}, que depende del parámetro real a, y una matriz cuadrada B de orden 3 tal que B^2=\frac13I-2B, siendo I la matriz identidad de orden 3. Obtener razonadamente:

a) El rango de la matriz A en función del parámetro a y el determinante de la matriz 2A⁻¹ cuando a=1.
b) Todas las soluciones del sistema de ecuaciones A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} cuando a=-1.
c) La comprobación de que B es invertible, encontrando m y n tales que B^{-1}=mB+nI.


Solución:

a) El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada de dicha matriz cuyo determinante es distinto de 0.
En nuestro caso, la mayor submatriz cuadrada de A es la propia matriz A. Calculamos su determinante:

|A|=\begin{vmatrix}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{vmatrix}=a(a+1)-2a(a-1)+3a(a+1)-2(a-1)=\\\\=4a(a+1)-2(a+1)(a-1)=4a^2+4a-2(a^2-1)=\\\\=4a^2+4a-2a^2+2=2a^2+4a+2=\\\\=2(a^2+2a+1)=2(a+1)^2

determinante cuya única raíz es a=-1.

  • Si a≠-1, entonces el rango de A es 3.
  • Si a=1, entonces A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-2&0&2\\-3&-2&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\-3&-2\end{vmatrix}=-2\neq0

Por otro lado, nos piden calcular el determinante de 2A⁻¹. Recordamos las propiedades de los determinantes:

|2A^{-1}|\overset{P.6}=2^3|A^{-1}|\overset{P.4}=8\cdot\dfrac1{|A|}

Sabiendo que el determinante de A es 2(a+1)^2, para a=1 tenemos que |A|=8, luego

|2A^{-1}|=8\cdot\dfrac18=1


b) El sistema de ecuaciones propuesto para a=-1 es

\left\{\begin{array}{l}x-z=-1\\-2x+2z=2\\-3x-2y-z=0\end{array}\right.

Demostramos en el apartado a) que la matriz de coeficientes tiene rango 2. Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&0&-1\\-2&0&2\\-3&-2&0\end{vmatrix}=0

Luego, el rango de la matriz ampliada es también 2. El sistema original es equivalente a:

\left\{\begin{array}{l}x-z=-1\\-3x-2y-z=0\end{array}\right.

Para resolver este sistema compatible indeterminado parametrizamos la variable z:

z=\lambda\\\\\left\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda\\-3x-2y=\lambda\end{array}\right.

La solución de este sistema es:

x=-1+\lambda\\\\-2y=\lambda+3(-1+\lambda)=\lambda-3+3\lambda=4\lambda-3

\left\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda\\\\y=\dfrac{4\lambda-3}{-2}\\\\z=\lambda\end{array}\right.


c) Según el enunciado B^2=\frac13I-2B y sabemos que si B tiene inversa entonces BB^{-1}=I.
Si B⁻¹ tiene la forma B^{-1}=mB+nI, entonces

BB^{-1}=B(mB+nI)=mB^2+nB=m(\frac13I-2B)+nB=\frac m3I-2mB+nB=I

De aquí se obtiene:

\left\{\begin{array}{l}\frac m3I=I\rightarrow \frac m3=1\\\\-2mB+nB=\overline 0\rightarrow-2m+n=0\end{array}\right.

siendo \overline 0 la matriz nula de orden 3. La solución de este sistema es m=3, n=6 valores para el que B tiene inversa.

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