Se dan la matriz , que depende del parámetro real a, y una matriz cuadrada B de orden 3 tal que
, siendo I la matriz identidad de orden 3. Obtener razonadamente:
a) El rango de la matriz A en función del parámetro a y el determinante de la matriz 2A⁻¹ cuando a=1.
b) Todas las soluciones del sistema de ecuaciones cuando a=-1.
c) La comprobación de que B es invertible, encontrando m y n tales que .
Solución:
a) El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada de dicha matriz cuyo determinante es distinto de 0.
En nuestro caso, la mayor submatriz cuadrada de A es la propia matriz A. Calculamos su determinante:
determinante cuya única raíz es a=-1.
- Si a≠-1, entonces el rango de A es 3.
- Si a=1, entonces
cuyo rango es 2 ya que
Por otro lado, nos piden calcular el determinante de 2A⁻¹. Recordamos las propiedades de los determinantes:
Sabiendo que el determinante de A es , para a=1 tenemos que
, luego
b) El sistema de ecuaciones propuesto para a=-1 es
Demostramos en el apartado a) que la matriz de coeficientes tiene rango 2. Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
Luego, el rango de la matriz ampliada es también 2. El sistema original es equivalente a:
Para resolver este sistema compatible indeterminado parametrizamos la variable z:
La solución de este sistema es:
c) Según el enunciado y sabemos que si B tiene inversa entonces
.
Si B⁻¹ tiene la forma , entonces
De aquí se obtiene:
siendo la matriz nula de orden 3. La solución de este sistema es m=3, n=6 valores para el que B tiene inversa.
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