Problema 620

Consideramos en el espacio las rectas

r:~\left\{\begin{array}{l}x-y+3=0\\2x-z+3=0\end{array}\right.\qquad s:~x=y+1=\dfrac{z-2}2

Obtener razonadamente:

a) La ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.
b) La recta que pasa por P=(0,-1,2) y corta perpendicularmente a la recta r.
c) El valor que deben tener los parámetros reales a y b para que la recta s esté contenida en el plano \pi:~x-2y+az=b.


Solución:

a) Un plano contendrá a dos rectas si estas son paralelas o se cortan en un punto. Veamos la posición relativa de ambas rectas. Comenzamos escribiendo la recta r en paramétricas parametrizando la variable x:

x=\lambda\\\\\left\{\begin{array}{l}-y+3=-\lambda\\-z+3=-2\lambda\end{array}\right.

de donde

r:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=3+\lambda\\z=3+2\lambda\end{array}\right.

A partir de las paramétricas, escribimos un punto de r y su vector director: P_r=(0,3,3),~\vec v_r=(1,1,2).

De la recta s, escrita en forma continua, escribimos uno de sus puntos y su vector director: P_s=(0,-1,2),~\vec v_s=(1,1,2)

Ambos vectores directores son iguales por lo que las rectas tienen la misma dirección. Queda calcular el vector \overrightarrow{P_rP_s}, para distinguir si las rectas son coincidentes o paralelas:

\overrightarrow{P_rP_s}=(0,-1,2)-(0,3,3)=(0,-4,-1)

Este vector no es paralelo a \vec v_r ya que no cumple la condición de paralelismo de vectores, por lo que ambas rectas son paralelas.
(Recordar la posición relativa de dos rectas en el espacio).

El plano que contiene a ambas rectas es: \pi=\{P_r,\vec v_r,\overrightarrow{P_rP_s}). En forma implícita:

\begin{vmatrix}x&y-3&z-3\\1&1&2\\0&-4&-1\end{vmatrix}=-x-4(z-3)+y-3+8x=\boxed{7x+y-4z+9=0}


b) Hay varias formas de resolver el problema. Aquí lo haremos del siguiente modo.
Escribimos un punto genérico de r a partir de las ecuaciones paramétricas de r:

P_r=(\lambda,3+\lambda,3+2\lambda)

Construimos el vector que va del punto P al punto de la recta P_r:

\overrightarrow{PP_r}=(\lambda,3+\lambda,3+2\lambda)-(0,-1,2)=(\lambda,4+\lambda,1+2\lambda)

p620

Imponemos que este vector sea perpendicular al vector director de r, \vec v_r=(1,1,2), utilizando las condición de perpendicularidad de vectores:

\overrightarrow{PP_r}\cdot\vec v_r=(\lambda,4+\lambda,1+2\lambda)\cdot(1,1,2)=\lambda+4+\lambda+2+4\lambda=6\lambda+6=0

de donde ha de ser λ=-1, y por tanto el vector \overrightarrow{PP_r} es (-1,3,-1).

La recta t buscada es t=\{P,\overrightarrow{PP_r}\} que escrita en paramétricas es:

t:~\left\{\begin{array}{l}x=-\mu\\y=-1+3\mu\\z=2-\mu\end{array}\right.


c) Comenzamos escribiendo la recta s en paramétricas a partir de su forma continua:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=-1+\lambda\\z=2+2\lambda\end{array}\right.

Si esta recta está contenida en el plano \pi:~x-2y+az=b, entonces todos los puntos de la recta verifican la ecuación del plano.
Sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

\lambda-2(-1+\lambda)+a(2+2\lambda)=b~;\\\\\lambda+2-2\lambda+2a+2a\lambda=b~;\\\\-\lambda+2a\lambda+2+2a=b~;\\\\(-1+2a)\lambda+(2+2a)=0\lambda+b

De aquí se obtiene el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}-1+2a=0\\2+2a=b\end{array}\right.

cuya solución es a=1/2, b=3.

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