Consideramos en el espacio las rectas

Obtener razonadamente:

a) La ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.
b) La recta que pasa por P=(0,-1,2) y corta perpendicularmente a la recta r.
c) El valor que deben tener los parámetros reales a y b para que la recta s esté contenida en el plano .

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Solución:

a) Un plano contendrá a dos rectas si estas son paralelas o se cortan en un punto. Veamos la posición relativa de ambas rectas. Comenzamos escribiendo la recta r en paramétricas parametrizando la variable x:

de donde

A partir de las paramétricas, escribimos un punto de r y su vector director: .

De la recta s, escrita en forma continua, escribimos uno de sus puntos y su vector director:

Ambos vectores directores son iguales por lo que las rectas tienen la misma dirección. Queda calcular el vector , para distinguir si las rectas son coincidentes o paralelas:

Este vector no es paralelo a ya que no cumple la condición de paralelismo de vectores, por lo que ambas rectas son paralelas.
(Recordar la posición relativa de dos rectas en el espacio).

El plano que contiene a ambas rectas es: . En forma implícita:

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b) Hay varias formas de resolver el problema. Aquí lo haremos del siguiente modo.
Escribimos un punto genérico de r a partir de las ecuaciones paramétricas de r:

Construimos el vector que va del punto P al punto de la recta :

Imponemos que este vector sea perpendicular al vector director de r, , utilizando las condición de perpendicularidad de vectores:

de donde ha de ser λ=-1, y por tanto el vector es (-1,3,-1).

La recta t buscada es que escrita en paramétricas es:

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c) Comenzamos escribiendo la recta s en paramétricas a partir de su forma continua:

Si esta recta está contenida en el plano , entonces todos los puntos de la recta verifican la ecuación del plano.
Sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

De aquí se obtiene el siguiente sistema:

cuya solución es a=1/2, b=3.

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