Problema 621

Se considera la función f(x)=xe^{-x^2}. Obtener razonadamente:

a) Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función f.
b) La representación gráfica de la curva y=f(x).
c) El valor del parámetro a para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [0,1] a la función g(x)=f(x)+ax.
d) El valor de las integrales indefinidas \int f(x)~dx,~\int xe^{-x}~dx.


Solución:

a) Primero decir que el dominio de esta función es \mathbb R, puesto que f se obtiene como el producto de dos funciones continuas en todo \mathbb R.
(Recordamos que las indeterminaciones del tipo ∞/∞ se pueden resolver utilizando la regla de L’Hôpital en este ejercicio).

  • Asíntota vertical.
    No tiene.
  • Asíntota horizontal.
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x^2}=\underbrace{\infty\cdot0}_{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{e^{x^2}}=\underbrace{\dfrac{\infty}{\infty}}_{IND}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{e^{x^2}2x}=\dfrac1{+\infty}=0^+\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^{-x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-xe^{-(-x)^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-xe^{-x^2}=\\\\=\underbrace{\infty\cdot0}_{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x}{e^{x^2}}=\underbrace{\dfrac{\infty}{\infty}}_{IND}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-1}{e^{x^2}2x}=\dfrac{-1}{+\infty}=0^-
    Tiene asíntota horizontal de ecuación y=0.
  • Asíntoa oblicua.
    No tiene.

Para estudiar la monotonía comenzamos por calcular los puntos críticos de f:

f'(x)=e^{-x^2}+xe^{-x^2}(-2x)=e^{-x^2}(1-2x^2)\\\\e^{-x^2}(1-2x^2)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=\pm\sqrt{\dfrac12}=\pm\dfrac{\sqrt2}2.
Teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos la monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\frac{\sqrt2}2)&(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2)&(\frac{\sqrt2}2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Decrece en x\in(-\infty,-\frac{\sqrt2}2)\cup(\frac{\sqrt2}2,+\infty)
  • Crece en x\in(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2)

Observamos un máximo en x=\dfrac{\sqrt2}2:

y=f(\frac{\sqrt2}2)=\dfrac{\sqrt2}2\cdot e^{-\frac12}=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt e}=\dfrac1{\sqrt{2e}}

es decir, en (\frac{\sqrt2}2,\frac1{\sqrt{2e}}).

Observamos un mínimo en x=-\dfrac{\sqrt2}2:

y=f(-\frac{\sqrt2}2)=-\dfrac{\sqrt2}2\cdot e^{-\frac12}=-\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt e}=-\dfrac1{\sqrt{2e}}

es decir, en (-\frac{\sqrt2}2,-\frac1{\sqrt{2e}}).


b) Para hacer un esbozo de la gráfica de f, además del dominio, las asíntotas y la monotonía, convendría calcular los puntos de corte con los ejes:

  • Punto de corte con el eje x (y=0):
    0=xe^{-x^2}
    ecuación cuya solución es x=0, por lo que la gráfica de f corta al eje x en (0,0).
  • Punto de corte con el eje y (x=0):
    y=0\cdot e^{-0^2}=0
    donde resulta el mismo punto de corte: (0,0).

Con todos los datos calculados el esbozo de la gráfica de f debe resultar semejante a la siguiente gráfica:

p621


c) La función g es:

g(x)=xe^{-x^2}+ax=x(e^{-x^2}+a)

Dado que g es suma de dos funciones contínuas y derivables en todo \mathbb R, entonces g es continua y derivable en todo \mathbb R, en particular en el intervalo (0,1).
Para que se cumpla el teorema de Rolle ha de ser g(0)=g(1), entonces:

g(0)=0\cdot(e^{-0^2}+a)=0\\g(1)=1\cdot(e^{-1^2}+a)=a+\dfrac1e

de donde

0=a+\dfrac1e~;\\\\a=-\dfrac1e


d) El valor de la integral indefinida \int f(x)~dx:

\displaystyle\int xe^{-x^2}~dx=\dfrac{-1}2\int -2xe^{-x^2}~dx=\dfrac{-1}2\cdot e^{-x^2}+k

El valor de la integral indefinida \int xe^{-x}~dx, que al no ser inmediata resolveremos por el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x&\rightarrow&du=dx\\dv=e^{-x}~dx&\rightarrow&v=-e^{-x}\end{array}

luego

\displaystyle\int xe^{-x}~dx=-xe^{-x}-\int-e^{-x}~dx=-xe^{-x}-e^{-x}+k=-e^{-x}(x+1)+k

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