Se considera la función . Obtener razonadamente:
a) Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función f.
b) La representación gráfica de la curva .
c) El valor del parámetro a para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [0,1] a la función .
d) El valor de las integrales indefinidas .
Solución:
a) Primero decir que el dominio de esta función es , puesto que f se obtiene como el producto de dos funciones continuas en todo
.
(Recordamos que las indeterminaciones del tipo ∞/∞ se pueden resolver utilizando la regla de L’Hôpital en este ejercicio).
- Asíntota vertical.
No tiene. - Asíntota horizontal.
Tiene asíntota horizontal de ecuación y=0. - Asíntoa oblicua.
No tiene.
Para estudiar la monotonía comenzamos por calcular los puntos críticos de f:
Ecuación cuyas soluciones son .
Teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos la monotonía en la siguiente tabla:
- Decrece en
- Crece en
Observamos un máximo en :
es decir, en .
Observamos un mínimo en :
es decir, en .
b) Para hacer un esbozo de la gráfica de f, además del dominio, las asíntotas y la monotonía, convendría calcular los puntos de corte con los ejes:
- Punto de corte con el eje x (y=0):
ecuación cuya solución es x=0, por lo que la gráfica de f corta al eje x en (0,0). - Punto de corte con el eje y (x=0):
donde resulta el mismo punto de corte: (0,0).
Con todos los datos calculados el esbozo de la gráfica de f debe resultar semejante a la siguiente gráfica:
c) La función g es:
Dado que g es suma de dos funciones contínuas y derivables en todo , entonces g es continua y derivable en todo
, en particular en el intervalo (0,1).
Para que se cumpla el teorema de Rolle ha de ser , entonces:
de donde
d) El valor de la integral indefinida :
El valor de la integral indefinida , que al no ser inmediata resolveremos por el método de integración por partes:
luego
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