Problema 621

Se considera la función $f(x)=xe^{-x^2}$ . Obtener razonadamente:

a) Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función f.
b) La representación gráfica de la curva $y=f(x)$ .
c) El valor del parámetro a para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [0,1] a la función $g(x)=f(x)+ax$ .
d) El valor de las integrales indefinidas $\int f(x)~dx,~\int xe^{-x}~dx$ .

Solución:

a) Primero decir que el dominio de esta función es $\mathbb R$ , puesto que f se obtiene como el producto de dos funciones continuas en todo $\mathbb R$ .
(Recordamos que las indeterminaciones del tipo ∞/∞ se pueden resolver utilizando la regla de L’Hôpital en este ejercicio).

Asíntota vertical.
No tiene.
Asíntota horizontal.
$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x^2}=\underbrace{\infty\cdot0}_{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{e^{x^2}}=\underbrace{\dfrac{\infty}{\infty}}_{IND}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{e^{x^2}2x}=\dfrac1{+\infty}=0^+\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^{-x^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-xe^{-(-x)^2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}-xe^{-x^2}=\\\\=\underbrace{\infty\cdot0}_{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x}{e^{x^2}}=\underbrace{\dfrac{\infty}{\infty}}_{IND}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-1}{e^{x^2}2x}=\dfrac{-1}{+\infty}=0^-$
Tiene asíntota horizontal de ecuación y=0.
Asíntoa oblicua.
No tiene.

Para estudiar la monotonía comenzamos por calcular los puntos críticos de f:

$f'(x)=e^{-x^2}+xe^{-x^2}(-2x)=e^{-x^2}(1-2x^2)\\\\e^{-x^2}(1-2x^2)=0$

Ecuación cuyas soluciones son $x=\pm\sqrt{\dfrac12}=\pm\dfrac{\sqrt2}2$ .
Teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos la monotonía en la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\frac{\sqrt2}2)&(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2)&(\frac{\sqrt2}2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}$

Decrece en $x\in(-\infty,-\frac{\sqrt2}2)\cup(\frac{\sqrt2}2,+\infty)$
Crece en $x\in(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2)$

Observamos un máximo en $x=\dfrac{\sqrt2}2$ :

$y=f(\frac{\sqrt2}2)=\dfrac{\sqrt2}2\cdot e^{-\frac12}=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt e}=\dfrac1{\sqrt{2e}}$

es decir, en $(\frac{\sqrt2}2,\frac1{\sqrt{2e}})$ .

Observamos un mínimo en $x=-\dfrac{\sqrt2}2$ :

$y=f(-\frac{\sqrt2}2)=-\dfrac{\sqrt2}2\cdot e^{-\frac12}=-\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt e}=-\dfrac1{\sqrt{2e}}$

es decir, en $(-\frac{\sqrt2}2,-\frac1{\sqrt{2e}})$ .

b) Para hacer un esbozo de la gráfica de f, además del dominio, las asíntotas y la monotonía, convendría calcular los puntos de corte con los ejes:

Punto de corte con el eje x (y=0):
$0=xe^{-x^2}$
ecuación cuya solución es x=0, por lo que la gráfica de f corta al eje x en (0,0).
Punto de corte con el eje y (x=0):
$y=0\cdot e^{-0^2}=0$
donde resulta el mismo punto de corte: (0,0).

Con todos los datos calculados el esbozo de la gráfica de f debe resultar semejante a la siguiente gráfica:

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c) La función g es:

$g(x)=xe^{-x^2}+ax=x(e^{-x^2}+a)$

Dado que g es suma de dos funciones contínuas y derivables en todo $\mathbb R$ , entonces g es continua y derivable en todo $\mathbb R$ , en particular en el intervalo (0,1).
Para que se cumpla el teorema de Rolle ha de ser $g(0)=g(1)$ , entonces: