Problema 622

Se da el sistema $\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=4\\3x+4y+5z&=5\\7x+9y+11z&=\alpha\end{array}\right.$ , donde α es un parámetro real. Obtener razonadamente:

a) Los valores de α para los que el sistema es compatible y los valores de α para los que el sistema es incompatible.
b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible.
c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente.

Solución:

a) Para discutir un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

$M=\begin{pmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&11\end{pmatrix}\quad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&4\\3&4&5&5\\7&9&11&\alpha\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de la matriz M:

$\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&11\end{vmatrix}=44+35+27-28-33-45=0$

$\begin{vmatrix}1&1\\3&4\end{vmatrix}=4-3=1$

Por lo que rg(M)=2 para todo α real.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:

$\begin{vmatrix}1&1&4\\3&4&5\\7&9&\alpha\end{vmatrix}=4\alpha+35+108-112-3\alpha-45=\alpha-14$

determinante cuya raíz es α=14, por tanto:

Si α≠14, entonces rg(M)=2, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.
Si α=14, entonces rg(M)=2, rg(M*)=2, siendo n=3 tenemos un sistema compatible determinado.

b) El sistema es compatible indeterminado para el caso α=14.

$\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=4\\3x+4y+5z&=5\\7x+9y+11z&=14\end{array}\right.$

Dado que el rango de sus matrices de coeficientes y ampliada es 2, como demostramos anteriormente, el sistema es equivalente a:

$\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=4\\3x+4y+5z&=5\end{array}\right.$

Para resolver este sistema parametrizamos z=λ:

$\left\{\begin{array}{rl}x+y&=4-\lambda\\3x+4y&=5-5\lambda\end{array}\right.$

Resolvemos utilizando la regla de Cramer:

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}4-\lambda&1\\5-5\lambda&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\3&4\end{vmatrix}}=\dfrac{16-4\lambda-5+5\lambda}1=11+\lambda$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&4-\lambda\\3&5-5\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1\\3&4\end{vmatrix}}=\dfrac{5-5\lambda-12+3\lambda}1=-7-2\lambda$

La solución del sistema es: $(x,y,z)=(11+\lambda,-7-2\lambda,\lambda)$ .

c) En el caso anterior teníamos α=14. Sustituimos el coeficiente 11 por cualquier otro valor β y discutimos el sistema:

$\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=4\\3x+4y+5z&=5\\7x+9y+\beta z&=14\end{array}\right.$

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada

$M=\begin{pmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&\beta\end{pmatrix}\quad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&4\\3&4&5&5\\7&9&\beta&14\end{pmatrix}$

Utilizamos de nuevo el teorema de Rouché-Fröbenius para discutir el sistema. Comenzamos calculando el rango de M:

$\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&\beta\end{vmatrix}=4\beta+35+27-28-3\beta-45=\beta-11$

determinante cuya raíz es β=11. Luego:

Si β≠11, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
Si β=11, entonces $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&11\end{pmatrix}$ tiene rango 2, ya que $\begin{vmatrix}1&1\\3&4\end{vmatrix}=1\neq0$ . Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}1&1&4\\3&4&5\\7&9&14\end{vmatrix}=0$
Por lo que rg(M*)=2, y el sistema es compatible indeterminado.

Una vez discutido el sistema para todos los valores de β, resolvemos los sistemas compatibles:

Si β≠11:

En este caso el sistema es compatible determinado y lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}4&1&1\\5&4&5\\14&9&\beta\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&\beta\end{vmatrix}}=\dfrac{16\beta+70+45-56-5\beta-180}{\beta-11}=\dfrac{11\beta-121}{\beta-11}$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&4&1\\3&5&5\\7&14&\beta\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&\beta\end{vmatrix}}=\dfrac{5\beta+140+42-35-12\beta-70}{\beta-11}=\dfrac{-7\beta+77}{\beta-11}$