Se da el sistema 
a) Los valores de α para los que el sistema es compatible y los valores de α para los que el sistema es incompatible.
b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible.
c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente.
Solución:
a) Para discutir un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el rango de la matriz M:
Por lo que rg(M)=2 para todo α real.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
determinante cuya raíz es α=14, por tanto:
- Si α≠14, entonces rg(M)=2, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.
- Si α=14, entonces rg(M)=2, rg(M*)=2, siendo n=3 tenemos un sistema compatible determinado.
b) El sistema es compatible indeterminado para el caso α=14.
Dado que el rango de sus matrices de coeficientes y ampliada es 2, como demostramos anteriormente, el sistema es equivalente a:
Para resolver este sistema parametrizamos z=λ:
Resolvemos utilizando la regla de Cramer:
La solución del sistema es: 
c) En el caso anterior teníamos α=14. Sustituimos el coeficiente 11 por cualquier otro valor β y discutimos el sistema:
Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada
Utilizamos de nuevo el teorema de Rouché-Fröbenius para discutir el sistema. Comenzamos calculando el rango de M:
determinante cuya raíz es β=11. Luego:
- Si β≠11, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si β=11, entonces
tiene rango 2, ya que
. Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
Por lo que rg(M*)=2, y el sistema es compatible indeterminado.
Una vez discutido el sistema para todos los valores de β, resolvemos los sistemas compatibles:
- Si β≠11:
En este caso el sistema es compatible determinado y lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:
Luego, la solución es: 
- Si β=11:
En este caso tendríamos el sistema del apartado b) cuya solución ya está calculada.
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