Problema 623

Sea π el plano de ecuación 9x+12y+20z=180. Obtener razonadamente:

a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a π que distan 4 unidades de π.
b) Los puntos A, B y C intersección del plano π con los ejes OX, OY y OZ y el ángulo que forman los vectores \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{AC}.
c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen O de coordenadas y los puntos A, B y C.


Solución:

a) Dado un plano Ax+By+Cz=D, todos los planos paralelos a éste tendrán los mismos valores A, B y C, por tanto, un plano α paralelo a π: 9x+12y+20z=180 tendrán la forma

\alpha:~9x+12y+20z=D

Recordamos la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos:

\boxed{d(\pi_1,\pi_2)=\dfrac{|D-D'|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

En nuestro caso:

d(\pi,\alpha)=\dfrac{|D-180|}{\sqrt{9^2+12^2+20^2}}=\dfrac{|D-180|}{25}

Queremos que esta distancia sea 4:

\dfrac{|D-180|}{25}=4~;\\\\|D-180|=100

ecuación en valor absoluto que resulta en las dos ecuaciones siguientes:

\bullet~D-180=100\rightarrow D=280\\\\\bullet~-D+180=100\rightarrow D=80

Luego, los dos planos buscados son:

\alpha_1:~9x+12y+20z=280\\\alpha_2:~9x+12y+20z=80


b) Recordamos las ecuaciones implícitas de los ejes de coordenadas

\text{Eje }OX:~\left\{\begin{array}{l}y=0\\z=0\end{array}\right.\quad\text{Eje }OY:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\z=0\end{array}\right.\quad\text{Eje }OZ:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.

Los puntos donde el plano π corta a cada uno de los ejes, los obtenemos resolviendo el sistema formado por las ecuaciones implícitas del plano con los ejes:

p459

A=\pi\cap OX=\left\{\begin{array}{rl}9x+12y+20z&=180\\y&=0\\z&=0\end{array}\right.\rightarrow A=(20,0,0)\\\\B=\pi\cap OY=\left\{\begin{array}{rl}9x+12y+20z&=180\\x&=0\\z&=0\end{array}\right.\rightarrow B=(0,15,0)\\\\C=\pi\cap OZ=\left\{\begin{array}{rl}9x+12y+20z&=180\\x&=0\\y&=0\end{array}\right.\rightarrow C=(0,0,9)

Ahora nos piden calcular el ángulo que forman los vectores \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{AC}:

\overrightarrow{AB}=(0,15,0)-(20,0,0)=(-20,15,0)\\\overrightarrow{AC}=(0,0,9)-(20,0,0)=(-20,0,9)

Para calcular el ángulo θ entre estos vectores utilizamos la fórmula del producto escalar:

\boxed{\cos(\theta)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}}

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-20)\cdot(-20)+15\cdot0+0\cdot9=400\\|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-20)^2+15^2+0^2}=\sqrt{625}=25\\|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-20)^2+0^2+9^2}=\sqrt{481}

Luego, el ángulo buscado es:

\cos(\theta)=\dfrac{400}{25\sqrt{481}}=\dfrac{16}{sqrt{481}}\\\\\theta=\arccos\left(\dfrac{16}{\sqrt{481}}\right)=43.15^{\circ}


c) El tetraedro descrito está formado por los vectores:

\overrightarrow{OA}=(20,0,0)\\\overrightarrow{OB}=(0,15,0)\\\overrightarrow{OC}=(0,0,9)

El volumen del tetraedro lo calculamos con la siguiente fórmula:

\boxed{V=\dfrac16\cdot|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]|}

donde [\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}] es el producto mixto de estos tres vectores:

[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]=\begin{vmatrix}20&0&0\\0&15&0\\0&0&9\end{vmatrix}=2700

Luego

V=\dfrac16\cdot2700=450\text{ u.v.}

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