Problema 624

Las coordenadas iniciales de los móviles A y B son (0,0) y (250,0), respectivamente, siendo 1 km la distancia del origen de coordenadas a cada uno de los puntos (1,0) y (0,1).
El móvil A se desplaza sobre el eje OY desde su posición inicial hasta el punto $(0,\frac{375}2)$ con velocidad de 30 km/h y, simultáneamente, el móvil B se desplaza sobre el eje OX desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas con velocidad de 40 km/h.
Obtener razonadamente:

a) La distancia $f(t)$ entre los móviles A y B durante el desplazamiento, en función del tiempo t en horas desde que comenzaron a desplazarse.
b) El tiempo T que tardan los móviles en desplazarse desde su posición inicial a su posición final, y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f a lo largo del trayecto.
c) Los valores de t para los que la distancia de los móviles es máxima y mínima durante su desplazamiento y dichas distancias máxima y mínima.

Solución:

a) A partir del enunciado sabemos que el móvil A tiene las ecuaciones:

$\left\{\begin{array}{l}v_A=30\\y=30t\end{array}\right.$

y el móvil B:

$\left\{\begin{array}{l}v_B=-40\\x=250-40t\end{array}\right.$

Las posición de cada móvil en función del tiempo es:

$\vec r_A=(0,30t)\\\vec r_B=(250-40t,0)$

La distancia entre ambos móviles es:

$f(t)=|\vec r_A-\vec r_B|=|(-250+40t,30t)|=\sqrt{(-250+40t)^2+(30t)^2}=\\\\=\sqrt{62500+1600t^2-20000t+900t^2}=\sqrt{2500t^2-20000t+62500}=\\\\=50\sqrt{t^2-8t+25}\text{ km}$

b) El tiempo que tarda el móvil A en moverse desde la posición y=0 hasta la posición $y=\frac{375}2$ sobre el eje OY es:

$y=30t~;\\\\\dfrac{375}2=30T_A\rightarrow T_A=6.25\text{ h}$

El tiempo que tarda el móvil B en moverse desde la posición x=250 hasta la posición x=0 sobre el eje OX es:

$x=250-40t~;\\\\0=250-40T_B\rightarrow T_B=6.25\text{ h}$

Es decir, tardan el mismo tiempo en hacer sus recorridos.

Por otra parte, nos piden estudiar la monotonía de la función f.
Dado que el radicando de f es una función cuadrática siempre positiva, el dominio de f es $x\in[0,6.25]$ .

Calculamos los puntos críticos de f:

$f'(t)=50\cdot\dfrac{2t-8}{\sqrt{t^2-8t+25}}=0~;\\\\2t-8=0~;\\\\t=4\text{ h}$

Con éste punto crítico y teniendo en cuenta el dominio construimos la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline t&(0,4)&(4,6.25)\\\hline\mbox{Signo }f'(t)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(t)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$