Las coordenadas iniciales de los móviles A y B son (0,0) y (250,0), respectivamente, siendo 1 km la distancia del origen de coordenadas a cada uno de los puntos (1,0) y (0,1).
El móvil A se desplaza sobre el eje OY desde su posición inicial hasta el punto con velocidad de 30 km/h y, simultáneamente, el móvil B se desplaza sobre el eje OX desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas con velocidad de 40 km/h.
Obtener razonadamente:

a) La distancia entre los móviles A y B durante el desplazamiento, en función del tiempo t en horas desde que comenzaron a desplazarse.
b) El tiempo T que tardan los móviles en desplazarse desde su posición inicial a su posición final, y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f a lo largo del trayecto.
c) Los valores de t para los que la distancia de los móviles es máxima y mínima durante su desplazamiento y dichas distancias máxima y mínima.

Solución:

a) A partir del enunciado sabemos que el móvil A tiene las ecuaciones:

y el móvil B:

Las posición de cada móvil en función del tiempo es:

La distancia entre ambos móviles es:

b) El tiempo que tarda el móvil A en moverse desde la posición y=0 hasta la posición sobre el eje OY es:

El tiempo que tarda el móvil B en moverse desde la posición x=250 hasta la posición x=0 sobre el eje OX es:

Es decir, tardan el mismo tiempo en hacer sus recorridos.

Por otra parte, nos piden estudiar la monotonía de la función f.
Dado que el radicando de f es una función cuadrática siempre positiva, el dominio de f es .

Calculamos los puntos críticos de f:

Con éste punto crítico y teniendo en cuenta el dominio construimos la siguiente tabla:

• f decrece en (0,4)
• f crece en (4,6.25)

c) La distancia entre los móviles es mínima para t=4 h como se ve en el apartado anterior. Dicha distancia es

La distancia máxima se obtendrá para alguno de los dos extremos del domino, t=0 ó t=6.25:

Luego, la distancia entre los móviles es máxima para t=0 h y su valor es de 250 km.

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