Problema 625

Programación lineal, Selectividad Mat CCSS,

Un inversor dispone de 9000 euros y quiere invertir en dos tipos de productos financieros: A y B. La inversión en el producto A debe superar los 5000 euros y, además, esta debe ser el doble, al menos, que la inversión en el producto B. Se sabe que la rentabilidad del producto A es del 2.7% y la del producto B del 6.3%.

a) ¿Cuánto ha de invertir en cada producto para que la rentabilidad sea máxima?
b) ¿Cuál es esa rentabilidad máxima?

Solución:

a) Sea x el dinero invertido en el producto A e y el dinero invertido en el producto B.

  1. La inversión en el producto A debe superar los 5000€: x>5000.
  2. La inversión en el producto A debe ser, al menos, el doble que la inversión en B: x\geq2y.
  3. El inversor dispone de 9000€: x+y\leq9000
  4. Las restricciones naturales son x≥0, y≥0.

Tenemos así todas las restricciones:

\left\{\begin{array}{l}x>5000\\x\geq2y\\x+y\leq9000\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Estas inecuaciones la expresamos como ecuaciones y las representamos:

p625

\left\{\begin{array}{l}x=5000\\x=2y\\x+y=9000\\x=0\\y=0\end{array}\right.

La zona sombreada es la región factible que verifica todas las restricciones. Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas:

A:~\left\{\begin{array}{l}x=5000\\x=2y\end{array}\right.\rightarrow A=(5000,2500)\\B:~\left\{\begin{array}{l}x+y=9000\\x=2y\end{array}\right.\rightarrow B=(6000,3000)\\C:~\left\{\begin{array}{l}x+y=9000\\y=0\end{array}\right.\rightarrow C=(9000,0)\\D:~\left\{\begin{array}{l}x=5000\\y=0\end{array}\right.\rightarrow D=(5000,0)

La rentabilidad en función del dinero invertido en cada producto es:

R(x,y)=0.027x+0.063y

Evaluamos la rentabilidad en cada vértice, pues entre ellos estará los valores máximo y mínimo de la rentabilidad dentro de las restricciones:

A\rightarrow R(5000,2500)=0.027\cdot5000+0.063\cdot2500=292.5\\B\rightarrow R(6000,3000)=351\\C\rightarrow R(9000,0)=243\\D\rightarrow R(5000,0)=135

Para tener la máxima rentabilidad, el inversor ha de invertir 6000€ en el producto A y 3000€ en el producto B.

b) Invirtiendo 6000€ en el producto A y 3000€ en el producto B, el inversor obtendrá una rentabilidad de 351€.

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